HDU 4565【二阶递推】_二阶卡特兰数-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/beginendzrq/article/details/51680833

本文针对一道涉及数学递推和矩阵快速幂的算法竞赛题目进行了详细解析。通过利用数学性质简化问题，并采用矩阵快速幂的方法实现了高效求解。文章还提供了完整的代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

大神安利的 http://wenku.baidu.com/link?url=TQqH0Eu6SbOBNLPwIm0mECspaTw9qZ46dtGfjTepX9y_4YdR6NmtZdfSq_nFtOcaYR3_cG8WjwDqeStvgn6fUGzKKspicPOMAw-MNg15scG&qq-pf-to=pcqq.c2c

题目大意：求 $\lceil(a + \sqrt b)^n\rceil \mod m$ ,其中有 $(a -1)^2 < b < a^2$

怎么感觉和 JLOI2015 的那道题差不多QAQ

由条件得 $0 < a - \sqrt b < 1$
先看 $(a + \sqrt b)^n + (a - \sqrt b)^n$
展开一下就知道它一定是个整数嘛
所以原式 $S_n = \lceil(a + \sqrt b)^n + (a - \sqrt b)^n\rceil \mod m$
然后就可以得到递推式

S n = 2 a S n - 1 + (b - a 2) F n - 2

$S_n = 2aS_{n-1} + (b - a^2)F_{n - 2}$
矩乘，没了…QAQ

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<string>
#include<cstring>
#define LL long long
using namespace std;

LL n,m,a,b;
LL A[2][2],t[2][2],ret[2][2];

void mul(LL A[][2],LL B[][2])
{
    for (int i = 0;i < 2;i ++)
        for (int j = 0;j < 2;j ++)
        {
            t[i][j] = 0;
            for (int k = 0;k < 2;k ++)
                (t[i][j] += A[i][k] * B[k][j]) %= m;
        }
    for (int i = 0;i < 2;i ++)
        for (int j = 0;j < 2;j ++)
            A[i][j] = t[i][j];
}

void ksm(int B)
{
    ret[0][0] = ret[1][1] = A[1][0] = 1;
    ret[0][1] = ret[1][0] = A[1][1] = 0;
    A[0][0] = a * 2,A[0][1] = b - a * a;
    for (;B;B >>= 1,mul(A,A))
        if (B & 1) mul(ret,A);
}

LL F(int n)
{
    int s = sqrt(b),t = (s * s != b);
    if (n == 1) return (a + s + t) % m;
        else return (a * a + b + (int)(sqrt(b) * a * 2) + t) % m;
}

int main()
{
    while (~scanf("%lld%lld%lld%lld",&a,&b,&n,&m))
    {
        if (n == 1)
        {
            cout << F(1) << endl;
            continue;
        }
        ksm(n - 2);
        cout << ((ret[0][0] * F(2) + ret[0][1] * F(1)) % m + m) % m << endl;
    }

    return 0;
}