导数与微积分初步

看了一下书，来口胡一下自己

极限

极限运算法则
$\lim[f(x) \pm g(x)] = \lim f(x) \pm lim g(x)$
$\lim[f(x) \cdot g(x)] = \lim f(x) \cdot \lim g(x)$
$\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac {\lim f(x)}{\lim g(x)}$ ($\lim g(x) \; != 0$)

夹逼定理
若有

$$\lim_{x \rightarrow X_0}F(x) = \lim_{x \rightarrow X_0}G(x) = A$$
且函数 $f(x)$ 在 $X_0$的某邻域内恒有 $$F(x) <= f(x) <= G(x)$$
则有 $$\lim_{x \rightarrow X_0}F(x) <= \lim_{x \rightarrow X_0}f(x) <= \lim_{x \rightarrow X_0}G(x)$$
故 $$\lim_{x \rightarrow X_0}f(x) = A$$
(这里$X_0$可以换成$\infty$)

两个重要极限
(1) $\lim_{x\rightarrow0}\frac {\sin x}x = 1$
(2) $\lim_{x \rightarrow \infty}(1 + \frac 1x)^x = e$
[变] $\lim_{x \rightarrow \infty}(1 - \frac 1x)^x = \frac 1e$

函数的间断点
第一类：可去间断点、跳跃间断点
第二类：无穷间断点、震荡间断点

导数

常用求导公式
(1) $C' = 0$
(2) $x^\mu = \mu x^{\mu - 1}$
(3) $(a^x)' = a^x\ln x$ (a > 0,a != 1)
(4) $(\log_ax)' = \frac 1{x\ln a}$ (a > 0,a != 1)
(5) $(\sin x)' = \cos x$
(6) $(\cos x)' = -\sin x$
(7) $(\tan x)' = \sec^2 x$

导数的四则运算法则
(1) $u \pm v = u' \pm v'$
(2) $(uv)' = u'v + uv'$
(3) $\left( \frac uv \right) = \frac {u'v - uv'}{v^2}$ (v != 0)

反函数的求导法则
反函数的导数等于直接函数导数的倒数，即 $[f^{-1}(x)]' = \frac 1{f'(y)}$

复合函数的求导法则
如果 $u = g(x)$ 在点 x 可导，而 $y = f(u)$ 在点 $u = g(x)$可导，那么复合函数 $y = f[g(x)]$ 在点 x 可导，且其导数为

$$\frac {dy}{dx} = f'(u) \cdot g'(x) 或 \frac {dy}{dx} = \frac {dy}{du} \cdot \frac {du}{dx}$$

ex1. 设 $y = \sin \frac {2x}{1 + x^2}$，求 $\frac {dy}{dx}$
设 $y = \sin u,u = \frac {2x}{1 + x^2}$

$$\begin{align} \frac {dy}{du} & = \cos u \\ \frac {du}{dx} & = \frac {2(1 + x^2) - (2x)^2}{(1 + x^2)^2} = \frac {2(1 - x^2)}{(1 + x^2)^2}\\ \end{align}$$
所以 $$\frac {dy}{dx} = \cos u \cdot \frac {2(1 - x^2)}{(1 + x^2)^2} = \frac {2(1 - x^2)}{(1 + x^2)^2} \cdot \cos \frac {2x}{1 + x^2}$$

高阶导数
莱布尼茨公式：$(uv)^{(n)} = \sum_{k = 0}^nC_n^ku^{(n - k)}v^{(k)}$

隐函数的导数
ex1. 求椭圆 $\frac {x^2}{16} + \frac {y^2}9 = 1$ 在点 $(2,\frac 32\sqrt 3)$ 处的切线方程
所求斜率为 $k = y'|_{x = 2}$
椭圆方程的两边分别对 x 求导，有

$$\frac x8 + \frac 29y \cdot \frac {dy}{dx} = 0$$
有 $$\frac {dy}{dx} = -\frac {9x}{16y}$$
代入 $x = 2,y = \frac 32\sqrt 3$
有 $$\frac {dy}{dx}|_{x = 2} = -\frac {\sqrt 3}4$$
所以切线方程为 $$\sqrt 3x + 4y - 8\sqrt3 = 0$$

ex2. 求 $y = x^{\sin x} \; (x > 0)$的导数
先在等式两边取对

$$\ln y = \sin x \cdot \ln x$$
再同时对 x 求导，得 $$\frac 1yy' = \cos x \cdot \ln x + \sin x \cdot \frac 1x \\ y' = y(\cos x \cdot \ln x + \frac {\sin x}x) = x ^ {\sin x}(\cos x \cdot \ln x + \frac {\sin x}x)$$

所以对于 $y = u^v \; (u >０)$ 的形式都可以用对数求导法

参数方程求导
若有参数方程

$$\begin{cases} x = \varphi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases}$$
有 $t = \varphi^{-1}(x)$,所以得到复合函数 $y = \psi[\varphi^{-1}(x)]$,有
$$\frac {dy}{dx} = \frac {dy}{dt} \cdot \frac {dt}{dx} =\frac {dy}{dt} \cdot \frac 1{\frac {dx}{dt}} = \frac {\psi'(t)}{\varphi'(t)}$$

微分

罗尔中值定理
如果函数 $f(x)$ 满足
(1) 在闭区间 [a,b] 上连续
(2) 在闭区间 (a,b) 内可导
(3) 在区间端点处的函数值相等，即 $f(a) = f(b)$
那么在 (a,b) 内至少有一点 $\xi (a < \xi < b)$,使得 $f'(\xi) = 0$

拉格朗日中值定理
如果函数 $f(x)$ 满足
(1) 在闭区间 [a,b] 上连续
(2) 在闭区间 (a,b) 内可导
那么在 (a,b) 内至少有一点 $\xi (a < \xi < b)$,使得等式

$$f(b) - f(a) = f'(\xi)(b - a)$$ 成立
这个式子又可以写成 $$\Delta y = f'(x + \theta\Delta x)\cdot \Delta x (0 < \theta < 1)$$ 所以这个定理又叫有限增量定理，上面的式子也称有限增量公式。这个定理还称微分中值定理。

柯西中值定理
如果函数 $f(x)$ 及 $F(x)$ 满足
(1) 在闭区间 [a,b] 上连续
(2) 在闭区间 (a,b) 内可导
(3) 对任一 $x \in (a,b),F'(x) \neq 0$
那么在 (a,b) 内至少有一点 $\xi$,使得

$$\frac {f(b) - f(a)}{F(b) - F(a)} = \frac {f'(\xi)}{F'(\xi)}$$ 成立

洛必达法则
1 : 设
(1) 当 $x \rightarrow a$ 时，函数 $f(x)$ 及 $F(x)$ 都趋于零
(2) 在点 a 的某去心邻域内，$f'(x)$ 及 $F'(x)$ 都存在且 $F'(x) \neq 0$
(3) $\lim_{x \rightarrow a}\frac {f'(x)}{F'(x)}$存在(或为无穷大)
则

$$\lim_{x \rightarrow a}\frac {f(x)}{F(x)} = \lim_{x \rightarrow a}\frac {f'(x)}{F'(x)}$$

2 : 设
(1) 当 $x \rightarrow \infty$ 时，函数 $f(x)$ 及 $F(x)$ 都趋于零
(2) 当 $|x| > N$时,$f'(x)$ 与 $F'(x)$ 都存在且 $F'(x) \neq 0$
(3) $\lim_{x \rightarrow \infty}\frac {f'(x)}{F'(x)}$存在(或为无穷大)
则

$$\lim_{x \rightarrow \infty}\frac {f(x)}{F(x)} = \lim_{x \rightarrow \infty}\frac {f'(x)}{F'(x)}$$

当然还有许多其他形式的未定式

ex1. 求 $\lim_{x \rightarrow 0^+} x^n \ln x (n > 0)$

$$\lim_{x \rightarrow 0^+} x^n\ln x = \lim_{x \rightarrow 0^+}\frac {\ln x}{x^{-n}} = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac {\frac 1x}{-nx^{- n - 1}} = \lim_{x \rightarrow 0^+}\left(\frac {-x^n}{n}\right) = 0$$

ex2. 求 $\lim_{x \rightarrow 0^+}x^x$
设 $y = x^x$,取对数得 $\ln y = x \ln x$

$$\lim_{x \rightarrow 0^+} \ln y = \lim_{x \rightarrow 0^+} (x \ln x) = 0 \\\because y = e^{\ln y} \\\therefore \lim_{x \rightarrow 0^+} x^x = \lim y = \lim e^{\ln y} = e^{\lim \ln y} = e^0 = 1$$

泰勒中值定理
一： 如果函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处具有 n 阶导数，那么存在 $x_0$ 的一个邻域，对于该邻域内的任一 x，有

$$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac {f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \cdots + \frac {f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + R_n(x)$$ 其中$R_n(x) = o((x - x_0)^n)$
当 $x_0 = 0$ 的时候就是麦克劳林公式

二： 如果函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某个邻域 $U(x_0)$ 内具有 (n + 1) 阶导数，那么对任一 $x \in U(x_0)$，有

$$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac {f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \cdots + \frac {f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + R_n(x)$$ 其中$R_n(x) = \frac {f^{(n + 1 )}(\xi)}{(n + 1)!}(x - x_0)^{n + 1}$

曲线的凹凸性
定义： 设 $f(x)$ 在区间 I 上连续，如果对 I 上任意两点 $x_1,x_2$恒有

$$f(\frac {x_1 + x_2}2) < \frac {f(x_1) + f(x_2)}2$$ 那么称 $f(x)$ 在 I 上的图形是（向上）凹的（凹弧）；如果恒有 $$f(\frac {x_1 + x_2}2) > \frac {f(x_1) + f(x_2)}2$$ 那么称 $f(x)$ 在 I 上的图形是（向上）凸的（凸弧）

定理： 设 $f(x)$ 在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 内具有一阶和二阶导数，那么
(1) 若在 (a,b) 内 $f''(x) > 0$,则 $f(x)$ 在 [a,b] 上的图形是凹的
(2) 若在 (a,b) 内 $f''(x) < 0$,则 $f(x)$ 在 [a,b] 上的图形是凸的

若 $f(x)$ 在 (a,b) 内具有二阶导数，那么对于拐点有 $f''(x_0) = 0$

曲率
弧微分公式：${\rm d}s = \sqrt {1 + y'^2}{\rm d}x$
曲率：$K = \lim _{\Delta s \rightarrow 0}|\frac {\Delta \alpha}{\Delta s}|$
直线上任意一点曲率为0
圆上任意一点曲率为 $\frac 1r$

积分

连续函数一定有原函数
如果一个函数有原函数那么它就有无穷多个原函数

常用积分公式 .
(1) $\int k dx = kx + C$
(2) $\int x^\mu dx = \frac {x^{\mu + 1}}{\mu + 1} + C \; (\mu \neq -1)$
(3) $\int \frac 1x dx = \ln x + C$
(4) $\int a^x dx = \frac {a^x}{\ln a} + C$
(5) $\int \cos x dx = \sin x + C$
(6) $\int \sin x dx = -\cos x + C$
(7) $\int \tan x dx = -\ln \cos x + C$
(8) $\int \ln x dx = x \ln x - x + C$

换元法

复合函数貌似没有统一的求积分公式QAQ

第一类换元法 ：
设 $f(u)$ 具有原函数， $u = \varphi(x)$ 可导，则有换元公式

$$\int f[\varphi(x)]\varphi'(x)dx = \left[\int f(u)du\right]_{u = \varphi(x)}$$

ex1. 求 $\int 2xe^{x^2} dx$
设 $u = x^2$

$$\int 2xe^{x^2} dx = \int e^uu’dx = \int e^udu = e^{x^2} + C$$

第二类换元法 ：
设 $x = \psi(t)$ 是单调的可导函数，并且 $\psi'(t) \neq 0$.又设 $f[\psi (t)]\psi '(t)$ 具有原函数，则有换元公式

$$\int f(x) dx = \left[\int f[\psi(t)]\psi'(t)dt\right]_{t = \psi^{-1}(x)}$$

分部积分法
分部积分公式：

$$\int uv'dx = uv -\int u'vdx$$
也可以写成： $$\int udv = uv - \int vdu$$

不想写了QAQ