PE 427_pe427-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/beginendzrq/article/details/51422801

本文介绍了一种关于排列问题的算法实现，针对长度为n的整数排列集合，通过递推公式计算特定条件下的求和问题。利用组合数学的方法简化计算，并通过代码实现了O(NlogN)的时间复杂度。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意：设 S 为长度为 n，元素大小为 1 到 n 的整数的排列集合，L(X) 为排列 X 中连续值相同的最长长度，求 $\sum_{X|S}L(S)$ ，其中 $n = 7500000$

设 $F[n][k]$ 表示长度为 n 的序列，L < k 的方案数
易得递推式

F [n] [k] = F [n - 1] [k] * n - F [n - k] [k] * (n - 1)

$F[n][k] = F[n - 1][k] * n - F[n - k][k] * (n - 1)$
第二维都是 k，所以可以枚举 k 来算

考虑这个转移，可以理解成 0 -> n，每次走 k 步或 1 步，即 $n = ak + b$ ,贡献分别为 n 、(1 - n)
用组合数可以表示成

\sum a = 0 ⌊ n k ⌋ (a + n - a k a) (1 - n) a n n - a k

$\sum_{a = 0}^{\lfloor\frac nk\rfloor}{a + n - ak\choose a}(1 - n)^an^{n - ak}$

答案就是 $\sum_{i = 1}^n i(f[n][i + 1] - f[n][i]) = n^{n + 1} - \sum_{i = 1}^n f[n][i]$

但注意一点，当 n == k 的时候，其实前面没有限制，所以答案会有 1 的差，所以要减掉 QAQ

求 n、(1 - n) 的次方可以预处理，不然复杂度还会加个 log …（好吧，只有我会写错QAQ

复杂度 $O(NlogN)$

【答案】97138867

#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<cstring>
#include<ctime>
//#include<cmath>
#include<algorithm>
#define M 1000000009
#define N 7500000
#define LL long long
using namespace std;

LL n = N,ans;
LL frac[N + 5],inv[N + 5],pow[N + 5],pow1[N + 5];

LL ksm(LL a,LL b)
{
    LL ret = 1;
    for (;b;b >>= 1,a = a * a % M)
        if (b & 1) ret = ret * a % M;
    return ret;
}

LL C(int n,int m)
{
    if (!m || n == m) return 1;
    return frac[n] * inv[m] % M * inv[n - m] % M;
}

LL cal(int m,int k)
{
    LL ret = 0;
    for (int a = 0;a * k <= m;a ++)
        (ret += C(a + m - a * k,a) * pow1[a] % M * pow[m - a * k]) %= M;
    return ret;
}

int main()
{
    frac[0] = pow1[0] = pow[0] = 1;
    for (int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        frac[i] = frac[i - 1] * i % M;
        pow[i] = pow[i - 1] * n % M;
        pow1[i] = pow1[i - 1] * (1ll - n) % M;
    }
    inv[n] = ksm(frac[n],M - 2);
    for (int i = n;i;i --) inv[i - 1] = inv[i] * i % M;
    for (int k = 2;k <= n;k ++)
        (ans += (cal(n - 1,k) - cal(n - k,k)) * n) %= M;
    ans = (ksm(n,n + 1) - ans) % M;
    if (ans < 0) ans += M;
    cout << ans << endl;

    return 0;
}