PE 190 【拉格朗日乘数】

其实这是一道水题，我只是来水的QAQ

题目大意:$f(m) = x_1x_2^2x_3^3\cdots x_m^m$的最大值,其中$x_1+ x_2 + \cdots + x_m = m$，求$\sum_{i=2}^{15}\lfloor f(i) \rfloor$

列出式子，解得 $x_1 : x_2 : \cdots : x_m = 1 : 2 : \cdots :m$
即$x_i = \frac {2i}{m+1}$，带入就好

拉格朗日乘数：

设目标函数为$f(x,y)$,限制条件为$\varphi (x,y)$
则令函数

$$F(x,y) = f(x,y) + \lambda\varphi(x,y)$$
其中$\lambda$称为拉格朗日乘子
对函数每个元求个偏导，解得$(x_0,y_0,\lambda_0)$,则$(x_0,y_0)$称为该函数的驻点

这道题中

$$\begin {cases} \frac {\partial F(x_1,\cdots,x_m,\lambda)}{\partial x_1} = x_2^2x_3^3\cdots x_m^m + \lambda = 0 \\ \frac {\partial F(x_1,\cdots,x_m,\lambda)}{\partial x_2} = 2x_1x_2x_3^3\cdots x_m^m + \lambda = 0 \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \vdots\\ \frac {\partial F(x_1,\cdots,x_m,\lambda)}{\partial x_m} = mx_2^2x_3^3\cdots x_m^{m-1} + \lambda = 0 \\ \frac {\partial F(x_1,\cdots,x_m,\lambda)}{\partial \lambda} = x_1 + x_2 + \cdots + x_m - m = 0 \end {cases}$$

联立解得 $x_i = \frac {2i}{m+1}$

偏导数不存在的点中，也可能有极值点
极值点不是最值点，可以比较极值点来得到最值点

限制条件还可以是不等式，蒟蒻表示自己不会QAQ

不过这货学来并没啥用QAQ
曾经用它来解半期考试数学题。。。（生无可恋

【答案】371048281

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