贝叶斯优化(Bayesian Optimization)深入理解

目前在研究Automated Machine Learning,其中有一个子领域是实现网络超参数自动化搜索，而常见的搜索方法有Grid Search、Random Search以及贝叶斯优化搜索。前两者很好理解，这里不会详细介绍。本文将主要解释什么是体统(沉迷延禧攻略2333)，不对应该解释到底什么是贝叶斯优化。

1|0I Grid Search & Random Search

 

我们都知道神经网络训练是由许多超参数决定的，例如网络深度，学习率，卷积核大小等等。所以为了找到一个最好的超参数组合，最直观的的想法就是Grid Search，其实也就是穷举搜索，示意图如下。

但是我们都知道机器学习训练模型是一个非常耗时的过程，而且现如今随着网络越来越复杂，超参数也越来越多，以如今计算力而言要想将每种可能的超参数组合都实验一遍(即Grid Search)明显不现实，所以一般就是事先限定若干种可能，但是这样搜索仍然不高效。

所以为了提高搜索效率，人们提出随机搜索，示意图如下。虽然随机搜索得到的结果互相之间差异较大，但是实验证明随机搜索的确比网格搜索效果要好。

2|0II Bayesian Optimization

 

假设一组超参数组合是X=x1,x2,...,xnX=x1,x2,...,xn(xnxn表示某一个超参数的值)，而这组超参数与最后我们需要优化的损失函数存在一个函数关系，我们假设是f(X)f(X)。

而目前机器学习其实是一个黑盒子(black box),即我们只知道input和output，所以上面的函数ff很难确定。所以我们需要将注意力转移到一个我们可以解决的函数上去，下面开始正式介绍贝叶斯优化。

假设我们有一个函数f:X→Rf:X→R,我们需要在X⊆XX⊆X内找到

x∗=argminx∈Xf(x)(1)(1)x∗=argminx∈Xf(x)

当ff是凸函数且定义域XX也是凸的时候，我们可以通过已被广泛研究的凸优化来处理，但是ff并不一定是凸的，而且在机器学习中ff通常是expensive black-box function，即计算一次需要花费大量资源。那么贝叶斯优化是如何处理这一问题的呢？

2|11. 详细算法

 

Sequential model-based optimization (SMBO) 是贝叶斯优化的最简形式，其算法思路如下：

下面详细介绍一下上图中的算法：

1. Input:

• ff: 就是那个所谓的黑盒子
• XX:是输入数据，例如图像、语音等。
• SS:是Acquisition Function(采集函数)，这个函数的作用是用来选择公式(1)中的xx，后面会详细介绍这个函数。
• MM:是基于输入数据假设的模型，即已知的输入数据xx都是在这个模型上的，可以用来假设的模型有很多种，例如随机森林，Tree Parzen Estimators(想要了解这两种的可以阅读参考文献[1])等，但是本文主要介绍高斯模型。

2. InitSamples(f,x)→D

这一步骤就是初始化获取数据集D=(X1,Y1),...,(Xn,Yn)D=(X1,Y1),...,(Xn,Yn)，其中Yi=f(Xi)Yi=f(Xi),这些都是已知的。

3. 循环选参数TT次

因为每次选出参数xx后都需要计算f(x)f(x),而正如前面介绍的没计算一次函数ff，都会消耗大量资源，所以一般需要固定选参次数(或者是函数评估次数)。

• p(y|x,D)←FITMODEL(M,D)p(y|x,D)←FITMODEL(M,D)

首先我们预先假设了模型MM服从高斯分布，且已知了数据集DD，所以可以通过计算得出具体的模型具体函数表示。假设下图中的绿色实现就是基于数据集DD经过计算后的服从高斯分布模型。可以看到Each additional band of green is another half standard deviation on the output distribution.

那么高斯分布是如何计算的呢？

因为我们已经假设ff~GP(μ,K)GP(μ,K)。 (GP:高斯过程，μ:均值 K:协方差kernel,)。所以预测也是服从正态分布的，即有p(y|x,D)=N(y|μ^,σ^2)p(y|x,D)=N(y|μ^,σ^2)

• xi←argmaxx∈XS(X,p(y|X,D))xi←argmaxx∈XS(X,p(y|X,D))

现在已经将假设的模型计算出来了，那么下一步我们需要基于假设模型的基础上选择满足公式(1)的参数了，也就是选择XX，那么如何选择呢？这就涉及到了Acquisition Function，为了让文章篇幅更易阅读，想了解Acquisition Function移步到文末。

• yi←f(xi)yi←f(xi)

既然参数选出来了，那么当然就是要计算咯。例如我们通过上述步骤已经选出了一组超参数xixi，那么我们下一步就是将超参数带入网络中去进行训练，最后得到输出yiyi。这一步骤虽然expensive，但是没办法还是得走啊。

• D←D⋃(xi,yi)D←D⋃(xi,yi)

更新数据集。

2|22. Acquisition Function

 

Acquisition Function的选择可以有很多种，下面将分别介绍不同的AC function。

1） Probability of improvement

假设f′=minff′=minf,这个f′f′表示目前已知的ff的最小值。

然后定义utility function如下：

 

u(x)={o,1,if f(x)>f′if f(x)≤f′ u(x)={o,if f(x)>f′1,if f(x)≤f′ 

其实也可以把上面的u(x)u(x)理解成一个reward函数，如果f(x)不大于f'就有奖励，反之没有。

probability of improvement acquisition function定义为the expected utility as a function of x:

 

aPI(x)=E[u(x)|x,D]=∫f′−∞N(f;μ(x),K(x,x))df=Φ(f′;μ(x),K(x,x))aPI(x)=E[u(x)|x,D]=∫−∞f′N(f;μ(x),K(x,x))df=Φ(f′;μ(x),K(x,x))

之后只需要求出a(x)a(x)的最大值即可求出基于高斯分布的满足要求的xx。

2) Expected improvement

上面的AC function有个缺点就是找到的xx可能是局部最优点，所以有了Expected improvement。f′f′的定义和上面一样，即f′=minff′=minf。utility function定义如下:

 

u(x)=max(0,f′−f(x))u(x)=max(0,f′−f(x))

因为我们最初的目的是找到使得f(x)最小的x，所以这个utility function的含义很好理解，即接下来找到的f(x)f(x)比已知最小的f′f′越小越好，然后选出小的程度最大的那个f(x)f(x)和f′f′之间的差距的绝对值作为奖励，如果没有更小的那么奖励则为0.

AC function定义如下：

 

aEI(x)=E[u(x)|x,D]=∫f′−∞(f′−f)N(f;μ(x),K(x,x))df=(f′−μ(x))Φ(f′;μ(x),K(x,x))+K(x,x)N(f′;μ(x),K(x,x))aEI(x)=E[u(x)|x,D]=∫−∞f′(f′−f)N(f;μ(x),K(x,x))df=(f′−μ(x))Φ(f′;μ(x),K(x,x))+K(x,x)N(f′;μ(x),K(x,x))

通过计算使得aEIaEI值最大的点即为最优点。

上式中有两个组成部分。要使得上式值最大则需要同时优化左右两个部分：

• 左边需要尽可能的减少μ(x)μ(x)
• 右边需要尽可能的增大方差(或协方差)K(x,x)K(x,x)

但是二者并不同能是满足，所以这是一个exploitation-exploration tradeoff。

3) Entropy search

4） Upper confidence bound

3|0Reference

 

• [1] Sigopt.com. Bayesian Optimization Primer (2018). [online] Available at: https://sigopt.com/static/pdf/SigOpt_Bayesian_Optimization_Primer.pdf [Accessed 26 Oct. 2018].
• [2] Cse.wustl.edu. Bayesian Optimization (2018). [online] Available at: https://www.cse.wustl.edu/~garnett/cse515t/spring_2015/files/lecture_notes/12.pdf [Accessed 26 Oct. 2018].
• [3] Anon,How does Bayesian optimization work? (2018). [online] Available at: https://www.quora.com/How-does-Bayesian-optimization-work [Accessed 26 Oct. 2018].