82、微分约束下的规划：从基础到应用

微分约束下的规划：从基础到应用

在许多实际问题中，尤其是机器人运动规划领域，路径规划不仅仅要考虑全局的可行配置，还需要处理微分约束，即对每个点的允许速度进行限制。本文将深入探讨微分约束下的规划问题，包括相关模型的构建、表示方法，以及如何将隐式约束转换为参数化约束。

微分约束规划概述

在之前的规划模型和方法中，通常假设在没有障碍物的情况下，任意两个配置之间的路径可以轻松确定。例如，基于采样的路线图方法假设在配置空间中，两个相邻配置可以通过“直线”连接。这些路径约束是全局的，即限制的是允许的配置集合。

而微分约束则不同，它限制了每个点的允许速度，可以看作是局部约束，与因障碍物产生的全局约束形成对比。在机器人领域，大多数问题都涉及由机器人的运动学和动力学产生的微分约束。处理这些约束有两种方法：一种是在规划过程中忽略它们，希望在后续细化时能适当处理；另一种更好的方法是在规划过程中考虑这些约束，这样得到的规划方案能直接符合机械系统的自然运动。

下面我们将分别介绍几个关键章节的内容，包括微分模型的构建、基于采样的规划算法以及控制理论中的强大工具。

微分模型

在连续状态空间中，状态转移方程通常表示为 $\dot{x} = f(x, u)$，这是离散状态转移方程 $x_{k + 1} = f(x_k, u_k)$ 的连续时间版本，也被称为控制系统。在这个阶段，暂不考虑障碍物区域，障碍物将在后续的规划算法中出现。

在连续时间里，状态转移函数 $f(x, u)$ 给出的是速度，而不是下一个状态。未来满足微分约束的状态通过对速度进行积分得到，因此只指定速度是很自然的，这依赖于切空间和向量场的概念。