89、微分模型与基于采样的微分约束规划

微分模型与基于采样的微分约束规划

1. 微分模型相关理论

在微分模型中，有重要的哈密顿方程。由相关推导可得：
[dH = \sum_{i=1}^{n} \dot{q} i dp_i - \sum {i=1}^{n} \dot{p}_i dq_i]
将其与另一个式子联立，能得到 2n 个方程，即哈密顿方程：
[\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}]
[\dot{p}_i = \frac{\partial H}{\partial q_i}]
这里的 (i) 取值从 1 到 (n)。哈密顿方程与欧拉 - 拉格朗日方程等价，不过拉格朗日公式使用 ((q, \dot{q}))，而哈密顿使用 ((p, q))，并且哈密顿方程会得到一阶偏微分方程。当假设动力学是时不变的，且运动发生在保守场中时，(dH = 0)，这对应着总能量守恒。在时变情况下，会出现额外的方程 (\frac{\partial H}{\partial t} = -\frac{\partial L}{\partial t}) 与哈密顿方程一起。

哈密顿方程主要用于建立理论力学的基本结果，而非确定特定系统的运动。例如，哈密顿量用于建立刘维尔定理，该定理表明相流保持体积，这意味着哈密顿系统不能渐近稳定。

2. 多决策者的微分模型

微分模型可以扩展以模拟多个决策者的相互作用，这会引出连续时间的序贯决策和序贯博弈的扩展。

2.1 微分决策

为了将一个博弈扩展到连续时间，假设自然动作 (\theta(t)) 从集合 (\varTheta) 中选择，可定