23、基于采样的运动规划：采样方法全解析

基于采样的运动规划：采样方法全解析

1. 密集序列相关概念

在运动规划中，采样方法的基本要求是生成密集序列。若集合 $U$ 在集合 $V$ 中稠密，意味着将 $U$ 的边界点加入 $U$ 可得到 $V$。例如，开区间 $(0, 1)$ 在闭区间 $[0, 1]$ 中稠密，有理数集 $\mathbb{Q}$ 不仅可数，还在实数集 $\mathbb{R}$ 中稠密，因为对于任意实数，如 $\pi$，都存在一个收敛于它的分数序列，而这个分数序列必然是 $\mathbb{Q}$ 的子集。若一个序列的基础集合是稠密的，那么这个序列就是稠密的。

2. 随机序列可能是稠密的

假设 $C = [0, 1]$，从概念上讲，获取密集序列最简单的方法之一是随机选取点。设 $I \subset [0, 1]$ 是长度为 $\epsilon$ 的区间，若独立随机选取 $k$ 个样本，那么没有一个样本落入 $I$ 的概率是 $(1 - \epsilon)^k$。当 $k$ 趋近于无穷大时，这个概率趋近于零，这意味着 $[0, 1]$ 中任何非零长度的区间不包含点的概率趋近于零。不过存在一个小问题，独立随机选取的无限序列只是以概率 1 稠密，并非绝对保证。例如，在 $[0, 1]$ 中随机选一个数，选到 $\frac{\pi}{4}$ 的概率为零，但仍有可能发生。对于运动规划而言，若 $k$ 不是很大，仅获得概率上的保证而不是绝对的覆盖保证可能会令人沮丧。

3. 范德科普特序列

1935 年，荷兰数学家范德科普特提出了一个优美但未被充分利用的序列。该序列具有许多理想的应用特性，其原理简单，但仅定义在单位区间上。为了将其特性扩展到更高维空间，推动了后续正式的质量度