62、信号处理中的框架：理论与应用

信号处理中的框架：理论与应用

1. 引言

在信号处理领域，框架（Frames）这一概念由 Duffin 和 Schaeffer 于 1952 年为研究非调和傅里叶级数而引入。其核心思想是通过信号在一系列元素 ${e^{j2\pi\lambda_n t}}_n$（$n \in Z$）上的投影来表示信号，这里不限制 $\lambda_n$ 为基频 $F$ 的倍数 $nF$，不像传统的调和傅里叶级数那样。

不难发现，若没有这种限制，集合 ${e^{j2\pi\lambda_n t}}_n$ 往往具有高度冗余性，也就是所谓的过完备性。例如，在空间 $L^2(-T, T)$ 中，该集合可能包含比 $L^2(-T, T)$ 的基更多的元素或函数，像调和傅里叶级数就是 $L^2(-T, T)$ 的一种基。

过完备性虽然会给寻找函数 $f(t) \in L^2(-T, T)$ 的表示形式带来困难，如难以用 $f(t) = \sum_n c_n e^{j2\pi\lambda_n t}$ 来表示，但也带来了一些优势。与使用基相比，它能得到更紧凑、鲁棒或稳定的信号表示。这也是自 20 世纪 90 年代以来，框架在数学、统计学、计算机科学和工程领域得到广泛研究和应用的原因之一。

框架定义背后的基本思想是使用比必要数量更多的系数来表示给定空间中的信号，这正是过完备性的本质。现代模拟 - 数字转换器（ADCs）以高于奈奎斯特速率的低分辨率采样信号，就是基于这一思想。当信号采样速率远高于奈奎斯特速率时，对采样精度的要求可以放宽，这与传统的奈奎斯特采样不同，传统采样通常要求较高的量化精度以忽略信号重建误差。

此外，框架理论还能实现对非均匀和/或不规则采样的鲁棒性，这在存