17、运动规划中的配置空间解析

运动规划中的配置空间解析

1. 配置空间的定义

在运动规划领域，配置空间（C - space）是一个关键概念。若机器人具有 $n$ 个自由度，其变换集合通常是一个 $n$ 维的流形，这个流形就被称为机器人的配置空间，常简称为 C - space。在解决运动规划问题时，算法需在 C - space 中进行搜索。C - space 提供了强大的抽象，将复杂的模型和变换转化为计算穿越流形路径的通用问题。通过直接针对此目的开发算法，这些算法可应用于各种不同类型的机器人和变换。在后续涉及障碍物时，问题会变得更加复杂，但在当前讨论中暂不考虑障碍物。

2. 二维刚体的配置空间：SE(2)

2.1 二维刚体变换的流形

对于二维刚体在 $R^2$ 中的变换，可通过齐次变换矩阵 $T$ 来表示。任意的平移量 $x_t, y_t \in R$ 可构成一个流形 $M_1 = R^2$，而任意的旋转角度 $\theta \in [0, 2\pi)$ 可构成流形 $M_2 = S^1$（因为 $2\pi$ 和 $0$ 的旋转效果相同）。那么，对应所有刚体运动的流形为 $C = M_1 × M_2 = R^2 × S^1$，即 C - space 是一种圆柱。

2.2 矩阵群的引入

为了更深入地理解，我们将变换集合视为一个群，同时也是一个拓扑空间。从矩阵集合中可以推导出几个重要的群，最终得到 $SO(n)$，即 $n × n$ 旋转矩阵群，这对运动规划非常重要。
- 一般线性群 $GL(n)$ ：所有非奇异的 $n × n$ 实值矩阵构成一般线性群，记为 $GL(n)$，关于矩阵乘法。每个矩