13、运动规划与几何变换：从机器人到分子的探索

运动规划与几何变换：从机器人到分子的探索

1. 引言

在众多领域中，如机器人技术、计算生物学等，对物体的运动和变换进行准确描述是至关重要的。通过运用特定的参数和变换矩阵，我们能够精确地表示物体的位置和方向，从而解决各种实际问题。下面将详细介绍相关的理论和应用实例。

2. DH参数与齐次变换矩阵

2.1 DH参数定义

DH（Denavit - Hartenberg）参数用于描述机器人连杆之间的相对位置和方向，包括四个参数：$d_i$、$\theta_i$、$a_{i - 1}$、$\alpha_{i - 1}$。这些参数可以为正、零或负，它们的定义如图所示（此处可参考相关图形）。

2.2 两个基本变换

齐次变换矩阵$T_i$由两个更简单的变换组合而成：
- $R_i$变换 ：
$R_i =
\begin{pmatrix}
\cos\theta_i & -\sin\theta_i & 0 & 0 \
\sin\theta_i & \cos\theta_i & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & d_i \
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$
它表示绕$z_i$轴旋转$\theta_i$角度，并沿$z_i$轴平移$d_i$距离。由于旋转和平移操作都相对于同一轴$z_i$，它们是可交换的，这种组合操作被称为螺旋运动。
- $Q_{i - 1}$