11、几何表示与变换：从模型构建到刚体变换

几何表示与变换：从模型构建到刚体变换

1. 几何模型表示

在几何建模领域，不同的模型用于表示各种形状和物体，这些模型在机器人运动规划、计算机图形学等领域有着广泛的应用。

1.1 多面体模型

多面体可以通过平面方程来定义。一个平面方程的一般形式为 (ax + by + cz + d = 0)，其中 (a, b, c, d \in R) 是常数。可以构建函数 (f(x, y, z) = ax + by + cz + d)，对于多面体 (O) 的每个面，定义一个半空间 (H_i) 为 (H_i = {(x, y, z) \in W | f_i(x, y, z) \leq 0})。

为了确保 (f_i) 在多面体内部取负值，可以按如下步骤确定每个面的方程：
1. 在面的边界上按逆时针顺序选择三个不共线的连续顶点 (p_1, p_2, p_3)。
2. 计算向量 (v_{12}) 从 (p_1) 到 (p_2)，向量 (v_{23}) 从 (p_2) 到 (p_3)。
3. 计算叉积 (v = v_{12} \times v_{23})，该向量指向多面体外部且垂直于该面。
4. 取 (a = v[1])，(b = v[2])，(c = v[3])，则对于包含多面体的半空间中的所有点，有 (f(x, y, z) \leq 0)。

凸多面体可以定义为有限个半空间的交集，每个面对应一个半空间；非凸多面体可以定义为有限个凸多面体的并集。可以定义谓词 (\varphi(x, y, z))，当 ((x, y, z) \in O) 时为真，否则为假。

1.2 半代数模型

在多边