11、几何表示与变换及刚体变换相关知识

几何表示与变换及刚体变换相关知识

1. 几何表示模型

在几何建模中，存在多种不同的模型用于表示物体，以下为你详细介绍。
- 多面体模型
- 平面方程定义 ：平面可由方程 (ax + by + cz + d = 0) 确定，其中 (a, b, c, d \in R) 为常数。可构建函数 (f : R^3 \to R)，且 (f (x, y, z) = ax + by + cz + d)。
- 半空间定义 ：设多面体 (O) 有 (m) 个面，每个面可定义一个半空间 (H_i = {(x, y, z) \in W | f_i(x, y, z) \leq 0})。选择 (f_i) 时，要使其在多面体内部取负值。
- 面方程确定 ：在面的边界上按逆时针顺序选三个不共线的连续顶点 (p_1, p_2, p_3)，计算向量 (v_{12})（从 (p_1) 到 (p_2)）和 (v_{23})（从 (p_2) 到 (p_3)），它们的叉积 (v = v_{12} \times v_{23}) 指向多面体外部且垂直于该面。取 (a = v[1], b = v[2], c = v[3])，则对于包含多面体的半空间内的所有点，有 (f (x, y, z) \leq 0)。
- 凸多面体与非凸多面体 ：凸多面体可定义为有限个半空间（每个面一个）的交集，非凸多面体可定义为有限个凸多面体的并集。可定义谓词 (\varphi(x, y, z))，若 ((x, y, z) \in O) 则为真，否则为假。