24、k-树中距离的极限分布

k-树中距离的极限分布

1. k-树的树表示算法

在处理k-树时，我们可以通过特定的算法将其转换为一种特定的树结构。下面是具体的算法步骤：
- 输入 ：一个具有n个顶点的有根k-树G。
- 输出 ：一棵树T，其根节点包含k个顶点的列表。

1: 为G的每个k-团创建一个白色节点。
2: 为G的每个k + 1-团创建一个黑色节点。
3: 在每个黑色节点和它所包含的所有k + 1个k-团之间添加一条边。
{此时我们得到了G的完整团分隔树}
4: 从每个黑色节点中移除除了不包含在其父节点中的那个顶点之外的所有顶点。
5: 从根节点开始传播白色节点中顶点的顺序。
6: 对黑色节点的子节点进行排序：第i个子节点不包含其父节点的第i个顶点。
7: 从每个白色节点中移除所有顶点 {得到的树属于K结构}

这个算法的逆过程很简单。步骤4和7中移除的标签可以由树中节点的位置确定，步骤2中创建的k + 1-团列表足以重建k-树，不会有边缺失，因为每条边都在属于同一个k + 1-团的两个顶点之间。

2. K结构的生成函数

算法1将有根k-树转换为K结构，它由树结构T（我们称为适当树）和一个k个顶点的列表组成。一个具有n个顶点的有根k-树会产生一个具有n - k个黑色节点的适当树。适当树由一个白色根节点和一组从其发出的黑色节点组成，每个黑色节点有一个子节点列表，这些子节点是与适当树类型相同的k个子树。

我们得到以下规范，其中E表示白色节点，Z表示原始k-团的顶点：