25、k - 树距离的极限分布与格雷码压缩

k - 树距离的极限分布与格雷码压缩

1. k - 树距离的极限分布

在研究 k - 树相关问题时，我们关注树中到根的第一个顶点的距离，这等同于类型为 (K^{\bullet}) 的树中到标记顶点的距离。通过对这些距离的研究，可以发现随机 k - 树中两个随机点之间的距离遵循瑞利分布。

• 生成函数推导

  • 对于 (K^{\circ}) 中距离为 (d) 的顶点的双变量生成函数（b.g.f.），有以下表达式：
    • (K^{\circ} 1(z, u) = kz^ku^{k - 1}T {1,1}(z, u) + z^{k + 1}u^kT^k_{1,1}(z, u)T^{\circ}(z))
    • (K^{\circ} d(z, u) = kz^kT {d,1}(z, u) + z^{k + 1}T^k_{d,1}(z, u)T^{\circ}_{d - 1,k}(z, u))
  • 对上述函数关于 (u) 求导可得：
    (K^{\circ\prime} d (z) = kz^kT^{k - 1}(z)T^{\prime} {d,1}(z)+kz^{k + 1}T^{k - 1}(z)T^{\prime} {d,1}(z)T^{\circ}(z)+z^{k + 1}T^k(z)T^{\circ\prime} {d - 1,k}(z))
    在这个函数中，主导项是 (z^{k + 1}T^k(z