14、图着色问题的复杂度结果分析

图着色问题的复杂度结果分析

1. 图的构建与预着色

首先，我们对图的顶点进行连接和预着色操作：
- 将所有 x 型顶点与所有第三索引为 1、2、3 的 p 型和 q 型顶点相连。
- 将所有 C 型顶点与所有第三索引为 4、5 的 p 型和 q 型顶点相连。
- 根据 p 型和 q 型顶点的第三索引对它们进行预着色，即 (p_{i,j,\ell}) 将被预着色为颜色 (\ell\in{1, 2, \cdots, 5})。此时，我们可以将之前引入的所有列表替换为 ({1, 2, \cdots, 5})，因为较短的列表会由给定的预着色强制确定。

2. 5 - 着色结果的证明

2.1 引理 1：图 (G_I) 是 (P_6) - 自由的

采用反证法证明。假设图 (G_I) 包含一个与 (P_6) 同构的诱导子图 (H)。
- (H) 最多包含集合 (S)（所有 p 型和 q 型顶点）中的三个顶点，否则 (H) 要么包含一个循环，要么包含一个四个顶点的独立集，要么包含一个度数至少为三的顶点。
- 同理，(H) 最多包含集合 (T)（所有 C 型和 x 型顶点）中的三个顶点。
- 进一步可证明 (H) 最多包含 (S \cup T) 中的三个顶点。

通过一系列声明完成证明：
|声明|内容|证明|
|----|----|----|
|声明 1| (H) 最多包含 (S) 中的两个顶点|假设 (|V(H) \cap S| = 3)，则 (H) 不包含 (T) 中的顶点，所以 (H) 包含集合 (U)（所有 a 型和 b 型顶点）中的三个顶点，这是不可能的。|