15、图着色与分解的复杂度研究

图着色与分解的复杂度研究

1. 图着色问题概述

图着色问题是图论中的经典问题，在许多领域都有广泛应用。这里主要探讨无特定长度路径的图（$P_k$-free 图）的着色复杂度问题，以及分裂图的分解问题。

2. $P_k$-free 图的着色复杂度

• $P_6$-free 图的 3 - 着色预着色扩展 ：对于$P_6$-free 图$G$，可以通过一系列操作将判断预着色是否能扩展为 3 - 着色的问题转化为多项式算法。具体做法是，如果得到否定答案，尝试交换某集合的颜色；若仍为否定答案，则将颜色 1 应用于集合$B$的所有顶点而非$A$，重复整个过程。
• $P_7$-free 图的 6 - 着色 ：证明了$P_7$-free 图的 6 - 着色问题是 NP 完全的。通过从 3 - 可满足性问题（3SAT）进行归约来证明。对于 3SAT 的任意实例$I$，构建对应图$G_I$，其构建步骤如下：
  1. 为每个子句引入一个包含 8 个新顶点的小装置，顶点分为 a 型、b 型和 c 型。例如，对于子句$C_j$，其顶点集为${a_{j,1}, a_{j,2}, a_{j,3}, b_{j,1}, b_{j,2}, b_{j,3}, c_{j,1}, c_{j,2}}$，边集包含特定的边。
  2. 为每个变量引入一个包含 3 个新顶点的小装置，顶点分为 x 型和 y 型。对于变量$x_i$，顶点集为${x_i, \overline{x_i}, y_i}$。
  3. 若子句$C_j$包含变量$x_i$、$x_k$和$x_