9、禁止子图着色与有向色数

禁止子图着色与有向色数

1. 引言

在图论领域，图的着色问题一直是研究的热点。有向色数和禁止子图着色是其中两个重要的概念。有向色数 $\chi_o(\overrightarrow{G})$ 是指存在同态 $\varphi : \overrightarrow{G} \to \overrightarrow{H}$ 的最小 $k$ 值，等价地，它是使得存在顶点集 $V(\overrightarrow{G})$ 的一个恰当 $k$ - 着色 $(V_1, \ldots, V_k)$，且对于任意 $i \neq j$，连接 $V_i$ 和 $V_j$ 的所有边都同向的最小 $k$ 值。无向图 $G$ 的有向色数 $\chi_o(G)$ 是其所有定向 $\overrightarrow{G}$ 的有向色数 $\chi_o(\overrightarrow{G})$ 的最大值。

已有研究给出了有向色数关于最大度的界，以及针对特殊图族（如树、平面图、部分 $k$ - 树等）的界。其中两个相关结果如下：
- 结果 (B1) ：对于每个 $r \geq 1$，每个部分 $r$ - 树的有向色数至多为 $(r + 1)2^r$。
- 结果 (B2) ：如果一个图的无圈色数至多为 $k$，那么 $\chi_o(G) \leq k2^{k - 1}$。

本文将获得 $(2, F)$ - 子图色数的改进界，并建立这些色数与有向色数之间的关系，然后将这些结果应用于获得有界亏格图的 $(2, F)$ - 子图色数和有向色数的新的或改进的界。

2. 改进的 $(2, F)$ - 色数界