6、加权最长公共子序列问题研究

加权最长公共子序列问题研究

1. 问题引入

在处理序列问题时，当扩展子序列时，小于 1 的值会相乘，这使得最重公共 p 加权子序列长度总是为 1，因为每增加一个符号都会降低总权重。为解决此问题，我们定义了最长公共加权子序列（LCWS）问题。

• LCWS 问题定义
  • 输入 ：两个长度为 n 的 p 加权字符串 A、B，字母表为 Σ，以及常数 α（0 < α ≤ 1）。
  • 输出 ：最大的 l，使得存在长度为 l 的公共子序列 ai1..ail = bj1..bjl，且 $\prod_{y = 1}^{l}(\pi_{A_{iy}}(a_{iy}) \cdot \pi_{B_{jy}}(b_{jy})) \geq \alpha$。

然而，若输入序列中字符的概率分布不均匀，LCWS 结果可能有偏差。为避免此情况，我们引入了带两个阈值的最长公共加权子序列（LCWS2）问题。

• LCWS2 问题定义
  • 输入 ：两个长度为 n 的 p 加权字符串 A、B，字母表为 Σ，以及常数 α1、α2（0 < αi ≤ 1）。
  • 输出 ：最大的 l，使得存在长度为 l 的公共子序列 ai1..ail = bj1..bjl，且 $\prod_{y = 1}^{l} \pi_{A