3、树与图的高效表示及相关问题研究

树与图的高效表示及相关问题研究

1. 树的简洁表示方法

树的简洁表示在数据结构和算法中具有重要意义，以下介绍几种常见的树表示方法。

1.1 Jacobson LOUDS 表示法

Jacobson 在 1989 年提出了 Level Order Unary Degree Sequence（LOUDS）表示法。该方法通过按层序遍历树，并将每个节点的度用一元编码表示。例如，对于有 3 个子节点的节点，用字符串 1110 表示。对于一个 n 节点的树，最终得到的字符串有 n 个 0 和 n - 1 个 1，添加一个初始的 1 后，字符串有 n 个 0 和 n 个 1，其中第 i 个 0 和第 i 个 1 都对应层序中的第 i 个节点。基于此，父节点和子节点操作可以用 Rank/Select 查询表示：
- Parent(x) = 1 + Rank0(Select1(x))
- Child(x, k) = Rank1(Select0(x - 1) + k)

Jacobson 对 n 节点树的表示由 2n 位的 LOUDS 字符串和辅助的 o(n) 位组成，以支持 O(1) 时间的 Rank/Select 操作，能实现常数时间的树导航。

以下是计算 Parent(7) 的示例：
- 首先计算 Select1(7) = 10，这是对应节点 g 的 1。
- 然后 Rank0(10) = 3，给出 g 的父节点一元编码前 0 的数量。
- 因此，g 的父节点在层序中的位置为 1 + Rank0(10) = 4，即节点 d。

1.2 平衡括号表示法

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