57、轮廓波及其应用详解

轮廓波及其应用详解

1. 拉普拉斯金字塔相关内容

拉普拉斯金字塔（LP）滤波器在图像处理中有着重要作用。LP滤波器可将图像的频率内容进行多尺度分解，其输出序列 {xk} 被称为高斯金字塔，因为通常使用高斯低通滤波器。而生成带通序列 {dk} 的滤波结构就是LP。随着 xk 的进一步分解，最终输出是细节图像序列 dk，仅在最后一级有一个低分辨率图像，这样就构成了一个通常所说的LP滤波器组，它是一系列滤波器组的级联，用于对原始图像进行多分辨率近似。

在LP滤波器组中，小波变换可以通过计算从精细到粗糙的多分辨率分解来实现。可以利用LP滤波器组的滤波器 H 和 G 来确定母/父小波，从而指定分解所需的小波框架。在LP滤波器组中，还可以定义一个框架算子 ˆKi，它能表征多相滤波器组中的滤波器 Ki。这表明LP对于任何有界输入都有有界输出，能在 l2(Z2) 中提供框架展开。如果框架向量 {φi} 被归一化且满足一定条件，那么 {φi} 就是一个正交基。

非正交框架会导致图像的冗余表示，其重建需要使用涉及 ˆKi 对偶框架的冗余框架算子，这可能会产生不稳定性，影响重建图像的质量。在数值分析中，研究重点通常是寻找正交基以实现最优近似。在某些情况下，由于基函数的要求，可能需要放宽正交基的要求，采用正交基、双正交基甚至紧框架来进行多分辨率分析（MRA），以增加一些灵活性，例如最小化展开的冗余度。

LP使用一对带有采样矩阵 M 的双正交滤波器，并满足特定条件。当滤波器满足一定条件时会变为正交滤波器，此时正交要求等价于 H ∗(z) = G(z) 和 G∗(z)G(z) = 1，这样就能实现完美重建，为LP滤波器组与经典小波的多分辨率分析建立了简单的联系。

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