29、数字滤波器频率响应掩蔽技术详解

数字滤波器频率响应掩蔽技术详解

1. 引言

在数字滤波器设计中，尖锐滤波器往往因较高的滤波器阶数而面临高计算复杂度的问题。为解决这一难题，频率响应掩蔽（FRM）技术应运而生，它能够以较低的计算复杂度设计出尖锐的有限脉冲响应（FIR）滤波器。

2. 基本FRM结构

FRM结构主要由一个原型带边缘整形滤波器和两个掩蔽滤波器组成，其整体结构是一个子滤波器网络。
- 原型带边缘整形滤波器 ：其z变换传递函数为$F(z)$，在FRM结构中，该滤波器的每个延迟被$L$个延迟所替代，得到的滤波器$F(z^L)$的频率响应是$F(z)$的频率压缩（压缩因子为$L$）且周期性的版本。$L$被称为FRM滤波器的压缩因子。
- 掩蔽滤波器 ：分别为$G_1(z)$和$G_2(z)$，用于对$F(z^L)$及其互补滤波器的输出进行滤波（即掩蔽），保留所需的频率带，然后组合得到最终的频率响应。

FRM结构的整体z变换传递函数$H(z)$为：
$H(z) = F(z^L)G_1(z) + (z^{-L N_F / 2} - F(z^L))G_2(z)$

在滤波器综合问题中，已知整体滤波器$H(z)$的通带和阻带边缘$\omega_{c}T$和$\omega_{s}T$，需要确定原型滤波器$F(z)$的通带和阻带边缘$\omega_{F_c}T$和$\omega_{F_s}T$。

根据过渡带的来源不同，可分为Case A和Case B两种情况：
- Case A ：$H(z)$的过渡带由$F(z