15、随机变量相关知识详解

随机变量相关知识详解

1. 离散随机变量的概率密度函数与质量概率函数

对于离散随机变量 (D)，其样本空间 (S_D = {…,d_{i - 1},d_i,d_{i + 1},…})，概率密度函数（PDF）为：
[f_D(d) = \sum_{i} P({D = d_i})\delta(d - d_i)]
以抛硬币实验为例，随机变量 (V) 的 PDF 是 (f_V(v) = 0.5\delta(v) + 0.5\delta(v - 1))。

为避免 PDF 中的脉冲，可使用质量概率函数 (P_D(d) = P({D = d}))，此时累积分布函数（CDF）为：
[F_D(d) = \sum_{i | d_i \leq d} P_D(d_i)]

2. 常见分布

• 均匀分布 ：若随机变量 (X) 在 (a) 和 (b)（(b > a)）之间均匀分布，其 PDF 为：
  [f_X(x) =
  \begin{cases}
  \frac{1}{b - a}, & a \leq x \leq b \
  0, & \text{otherwise}
  \end{cases}]
  实数均匀量化产生的误差就是均匀随机变量的一个例子。
• 高斯（正态）分布 ：高斯随机变量 (X) 的 PDF 为：
  [f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_X^2}} e^{-\frac{(x - \mu_X)^2}{2\sigma_X^2}}] <