8、折叠变体缩小与最优变体终止

折叠变体缩小与最优变体终止

1. 引言

缩小是一种基础的重写技术，用途广泛，涵盖了等式合一、等式定理证明、函数与逻辑编程的结合、部分求值、重写理论的符号可达性分析以及符号模型检查等多个领域。

当使用合流且终止的等式 E 进行缩小时，能够获得关键的完备性结果，比如生成 E - 合一子的完备集，以及用归一化替换覆盖从项 t 的实例开始的所有重写序列。然而，全缩小（即在所有非变量项位置进行缩小）在空间和时间上的效率都很低。因此，人们致力于研究既保持完备性又能显著缩小搜索空间的缩小策略。例如，基本缩小策略已被证明对于合流且终止的等式 E 的 E - 合一子完备集是完备的。

缩小策略的另一个重要潜在好处是终止性。某些缩小策略在对输入项 t 进行缩小时可能会终止，生成有限的搜索树，而全缩小在相同输入项上可能会生成无限的搜索树。例如，一些研究探讨了基本缩小终止的条件。类似地，所谓的惰性缩小策略也旨在减少搜索空间并增加终止的可能性，但目前尚未有针对模情况的惰性缩小策略。

通过将等式理论 E 分解为规则集 E 和等式公理集 Ax（存在有限且完备的 Ax - 合一算法），并对规则 E 施加模 Ax 的合流、终止和连贯性等自然要求，缩小可以推广到模公理 Ax 的情况。这种推广具有许多应用，包括定理证明系统、代数函数语言的功能 - 逻辑特性添加以及密码协议分析等领域。

然而，目前对于模情况下的有效缩小策略了解甚少，一些已知的异常情况表明，标准缩小策略的简单扩展在模情况下可能会失败。例如，模结合 - 交换性（AC）公理进行缩小很容易导致非终止行为，并且基本缩小模 AC 是不完备的。

1.1 基本缩小模 AC 的不完备性示例