13、高效计算吉布斯二元导数的方法及比较

高效计算吉布斯二元导数的方法及比较

在计算领域，吉布斯二元导数的计算是一个重要的问题，它在很多实际应用中都有广泛的用途。下面将详细介绍两种不同的数据结构（函数向量和决策图）下计算吉布斯二元导数的算法，并对这些算法进行比较。

1. 基于偏导数的算法

1.1 算法原理

吉布斯二元导数用偏导数定义，这种定义方式非常适合并行计算，因为偏导数可以同时计算。而且，偏导数的矩阵解释与有限二元群上各种谱变换的快速傅里叶变换（FFT）算法步骤有很强的相似性。计算关于变量 $x_i$ 的偏导数可以通过类似 FFT 算法的步骤来完成，基本蝶形运算由矩阵 $A_i = A(1) = \begin{bmatrix}-1 & 1 \ 1 & -1\end{bmatrix}$ 定义。

1.2 函数向量计算步骤

• 给定一个布尔函数 $f(x)$，用其函数向量 $F$ 表示。
• 通过执行类似 FFT 算法的步骤，用 $A_j$（$j = i$）确定的蝶形运算来确定偏吉布斯导数。
• 将表示偏吉布斯导数的向量进行加权求和，得到吉布斯导数。

例如，对于 $n = 3$ 的二进制变量函数，图 2.10 展示了计算吉布斯二元导数的类似 FFT 算法的步骤，这些步骤的输出 $Df_1$、$Df_2$ 和 $Df_3$ 用于通过公式 (2.14) 计算吉布斯二元导数。

1.3 GPU 实现的并行性

在 GPU 实现中，可以在两个级别上使用并行性：
- 数据并行性 ：类似 FFT 算法的