45、量子通信协议分析：信道容量与相关证明

量子通信协议分析：信道容量与相关证明

1. 哈希不等式的证明

在量子通信中，我们基于量子态传输和部分纠缠态蒸馏之间的显著关系来证明哈希不等式（8.121）。给定一个信道 $\kappa$，我们可以定义部分纠缠态 $\kappa \otimes\iota_{A’}(|u_{A,A’}^{0,0} \rangle \langle u_{A,A’}^{0,0} |)$，其中 $H_{A’}$ 是输入系统 $H_A$ 的参考系统，$u_{A,A’}^{0,0}$ 是 $H_A$ 和 $H_{A’}$ 之间的最大纠缠态。

反之，对于复合系统 $H_A \otimes H_B$ 上的部分纠缠态 $\rho$，我们可以通过量子隐形传态定义具有与系统 $H_A$ 相同维度输入系统 $H_{A’}$（维度为 $d$）的信道 $\kappa_{\rho}$。具体步骤如下：
1. 在复合系统 $H_A \otimes H_{A’}$ 上执行广义贝尔测量 ${|u_{A,A’}^{i,j} \rangle \langle u_{A,A’}^{i,j} |}$，并传输测量结果 $(i, j)$，其中 $u_{A,A’}^{i,j} \triangleq (I_{A’} \otimes X_i^A Z_j^A)u_{A,A’}^{0,0}$。
2. 此信道的输出系统为 $H_B \otimes C^{d^2}$。

考虑 $\rho$ 与参考系统 $H_R$ 的纯化，信道 $\kappa_{\rho}$ 的环境 $\kappa_{\rho,E}$ 为 $H_R \otimes C^{d^2}$。按照引理 9.7 的方式考虑窃听信道，选择分布 $p$ 为 $H_{A’}$ 的一组标准正交基上