45、经典通信与量子信道容量

经典通信与量子信道容量

1. 信息处理任务

1.1 经典通信

经典通信中，Alice 先从消息集合 ${1, \ldots, |M|}$ 里挑选要传给 Bob 的消息 $m$。设 $M$ 为对应 Alice 消息选择的随机变量，$|M|$ 是其基数。接着，Alice 准备状态 $\rho_m^{A’n}$ 作为多次独立使用量子信道 $N$ 的输入，输入系统是信道输入系统 $A’$ 的 $n$ 个副本。通过 $n$ 次独立使用信道 $N$ 传输该状态后，Bob 接收端的状态为：
[N^{\otimes n}(\rho_m^{A’n})]

Bob 利用解码 POVM ${\Lambda_m}$ 来确定 Alice 发送的消息。Bob 估计消息的随机变量为 $M’$，他正确确定消息 $m$ 的概率是：
[Pr {M’ = m|M = m} = Tr\left[\Lambda_mN^{\otimes n}(\rho_m^{A’n})\right]]
特定消息 $m$ 的错误概率为：
[p_e(m) \equiv 1 - Pr {M’ = m|M = m} = Tr\left[(I - \Lambda_m) N^{\otimes n}(\rho_m^{A’n})\right]]
任何编码方案的最大错误概率为：
[p^* e \equiv \max {m\in M} p_e(m)]

通信速率 $C$ 定义为：
[C \equiv \frac{1}{n} \log |M|]
若 $p^*_e \leq \varepsilon$，则该编码的错误率为 $\varepsilo