11、量子系统中的态区分与渐近分析

量子系统中的态区分与渐近分析

1. 量子平斯克不等式的证明

要证明量子平斯克不等式（3.53），可按以下步骤进行：
- 步骤一：证明二元相对熵的不等式
- 二元相对熵定义为 (h(x, y) \stackrel{\text{def}}{=} x \log \frac{x}{y} + (1 - x) \log \frac{1 - x}{1 - y})，对于 (0 \leq x \leq y \leq 1)，需证明 (2(y - x)^2 \leq h(x, y))。
- 步骤二：证明迹的不等式
- 对于 (P = {\sigma - \rho > 0}) 或 ({\sigma - \rho \geq 0})，证明 (2(\text{Tr} \sigma P - \text{Tr} \rho P) = \text{Tr} |\sigma - \rho| = \text{Tr}(\sigma - \rho)(P - (I - P)) \geq 0)。
- 步骤三：证明量子平斯克不等式（3.53）

2. 量子系统中的两态区分

考虑一个量子系统 (H)，其状态由密度矩阵 (\rho) 或 (\sigma) 表示。通过进行测量来确定描述量子系统真实状态的密度矩阵，这个过程可以用一个满足 (I \geq T \geq 0) 的厄米矩阵 (T) 表示，这被称为态区分。

2.1 测量与错误概率

• 进行对应于 POVM (M = {M_{\omega}} {\om