12、量子假设检验与区分：理论与渐近分析

量子假设检验与区分：理论与渐近分析

1. 态区分的渐近分析

在进行态区分的渐近分析时，我们有相应的假设条件。假设与之前的设定相同，并且满足 $\varphi’‘(1/2) > 0$ 以及 $\varphi(1/2|\rho|\sigma) < \log F(\rho, \sigma)$。通过 (3.19) 式以及 $\log F(\rho, \sigma) \leq \varphi(1/2|P_M\rho |P_M\sigma)$（这在更一般的形式中由推论 8.4 给出），可以证明 $\varphi(1/2|\rho|\sigma) < \min_M \inf_{1\geq s\geq 0} \varphi(s|P_M\rho |P_M\sigma)$。同时，还能证明 $\varphi(1/2|\rho|\sigma) < \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{n} \min_{M_n} \inf_{1\geq s\geq 0} \varphi(s|P_{M_n}\rho^{\otimes n}|P_{M_n}\sigma^{\otimes n})$。

2. 假设检验与 Stein 引理

在之前的讨论中，对于两个未知态的两种假设是平等对待的。但在实际情况中，有时我们的目标是反驳其中一个假设（称为原假设），并接受另一个假设（称为备择假设），这种问题被称为假设检验。

在假设检验中，误差可以分为两类：
- 第一类错误 ：原假设正确却被拒绝。
- 第二类错误 ：原假设错误却被接受。

我们只在支持