35、量子计算中的复合系统与量子电路

量子计算中的复合系统与量子电路

1. 量子测量与复合系统基础

1.1 量子测量

对于处于状态 $|\psi\rangle$ 的量子比特，测量得到结果 $\overline{k}$（$k = 0, 1$）的概率为 $|\alpha_k|^2 = \langle\psi|\overline{k}\rangle\langle\overline{k}|\psi\rangle$，测量后系统处于状态 $|\overline{k}\rangle$。不过，我们也能测量其他性质，例如由投影算子 $P_+ = |+\rangle\langle+|$ 和 $P_- = |-\rangle\langle-|$ 定义的性质，且 $P_+ + P_- = 11$。这两个投影算子定义了另一种测量，有两种可能的结果，分别标记为 $+$ 和 $-$。

通常情况下，除非特别说明，所有测量都假设在标准基下进行。这是因为任何测量都可以通过执行一些先验的幺正变换简化为标准测量。例如，$P_+ = HP_0H$ 和 $P_- = HP_1H$，且 $\langle\psi|P_+|\psi\rangle = \langle\psi|HP_0H|\psi\rangle$，$\langle\psi|P_-|\psi\rangle = \langle\psi|HP_1H|\psi\rangle$，所以在 $|\psi\rangle$ 上测量 ${P_+, P_-}$ 等价于在 $H|\psi\rangle$ 上测量 ${P_0, P_1}$。

1.2 复合系统的构建

量子机器由各自的幺正矩阵描述，且振幅的加法和乘法规则与概率的规则相同。我们可以按照熟悉的组合规则构建更复杂的机器：