36、谱估计（标准顶点条件）

谱估计（标准顶点条件）

1. 研究背景与目标

在有限紧致度量图上，具有 $L^1$ 势的薛定谔算子的谱是纯离散的。这是因为此类算子可视为在所有端点处具有狄利克雷条件的薛定谔算子（狄利克雷算子）的有限秩扰动。本文的主要目标是证明谱估计，比较薛定谔算子和参考拉普拉斯算子的谱，这两个微分算子本质上作用于同一度量图。研究的主要原因是，非罗宾拉普拉斯算子的谱更容易计算，并且作为研究的副产品，我们将证明著名的安巴尔楚米扬定理的推广。

2. 渐近等谱性的定义

• 定义 ：两个无界、半有界自伴算子 $A$ 和 $B$，其离散谱分别为 ${\lambda_n(A)} {n = 1}^{\infty}$ 和 ${\lambda_n(B)} {n = 1}^{\infty}$，若满足 $\lim_{n \to \infty}(\sqrt{\lambda_n(A)} - \sqrt{\lambda_n(B)}) = 0$，则称它们渐近等谱。
• 条件 ：为保证量子图的渐近等谱性，只要特征值满足估计 $|\lambda_n(L_S^q) - \lambda_n(L_S)| \leq Cn^{1 - \epsilon}$，其中 $\epsilon > 0$ 即可。

3. 定理陈述

设 $L^{st}$ 和 $L_q^{st}$ 分别是紧致有限度量图 $\Gamma$ 上的标准拉普拉斯算子和标准薛定谔算子，且薛定谔算子中的势 $q \in L^1(\Gamma)$。则拉普拉斯算子和薛定谔算子渐近等谱，并且它们的特征值