28、图的欧拉特征与谱渐近分析

图的欧拉特征与谱渐近分析

在图论和算子理论的研究中，图的欧拉特征与谱之间的关系是一个重要的研究方向。本文将探讨在存在狄利克雷顶点的图中，如何从谱信息恢复图的欧拉特征，以及谱渐近性对欧拉特征的影响。

1. 含狄利克雷顶点的图的欧拉特征

假设图 $\Gamma$ 上的拉普拉斯算子由顶点处的标准条件和狄利克雷条件确定。为简化问题，我们仅考虑在一度顶点处引入狄利克雷条件，并记狄利克雷顶点的数量为 $M_D$。由于存在等谱但欧拉特征不同的图的例子，我们需要修改原有的公式来从谱信息恢复图的欧拉特征。

1.1 定理 9.2

设 $\Gamma$ 是具有欧拉特征 $\chi$ 的有限紧致连通度量图，$L^{st,D}(\Gamma)$ 是在某些一度顶点处满足 $M_D \geq 1$ 个狄利克雷条件，在其他所有顶点处满足标准条件的拉普拉斯算子。则 $\lambda = 0$ 的谱重数和代数重数分别为：
- $m_s(0) = 0$，即 $\lambda = 0$ 不是特征值；
- $m_a(0) = -\chi + M_D$。

证明思路 ：
- 证明 $\lambda = 0$ 不是特征值：假设 $\psi$ 是对应的特征函数，通过计算内积 $\langle\psi, L^{st,D}\psi\rangle$ 并结合标准条件和图的连通性，可得出当 $M_D \geq 1$ 时，$\psi$ 恒为零。
- 计算代数重数：修改定理 8.2 的证明，引入振幅向量 $\vec{A}$ 和 $\vec{B}$，并根据狄利克雷顶点和标准顶点的不同条件得到新的线性方程组。通过构造基本通量，