78、离散图的谱特性研究

离散图的谱特性研究

1. 二分图与特征值不等式

对于二分图，标准拉普拉斯算子的前 (2N + 1) 个特征值满足特定条件：
[
\begin{cases}
0 = \lambda_{1}^{st} < \lambda_{2}^{st} \leq \cdots \leq \lambda_{M - 1}^{st} < \lambda_{M}^{st} = \cdots = \lambda_{N + 1}^{st} = \pi \
\pi < \lambda_{N + 2}^{st} \leq \cdots \leq \lambda_{N + M - 1}^{st} < \lambda_{N + M}^{st} = \cdots = \lambda_{2N + 1}^{st} = 2\pi
\end{cases}
]

存在如下定理：设 (\Gamma) 是具有 (N) 条边的连通等边度量图，狄利克雷和标准拉普拉斯算子的特征值之间的不等式 (24.32) 对任意 (n) 成立，当且仅当对应的离散图 (G) 是二分图。若 (G) 不是二分图，(24.32) 对 (n \neq (2m + 1)N)（(m = 0, 1, \cdots)）成立，而对 (n = (2m + 1)N)（(m = 0, 1, \cdots)）不成立。对于非二分图 (G)，不等式不成立的特征值比例为 (\frac{1}{2N})，且仅当 (\lambda = (m\pi)^2)（(m = 1, 2, \cdots)）时，不等式变为等式。大约 (2(N - M)) 个特征值（若 (G) 不是二分图为 (2(N - M) + 1)，若 (G) 是二分图为 (2(N - M) + 4)）会使 (24.32) 成为等式。

2. 归一化和标准拉普拉斯算子的等谱性

标准拉普拉斯算子在等边图上的等谱性与归一化拉普拉斯算子在对应离散图上的等谱性存在关系。标准拉普拉斯算子等谱的前提是归一化拉普拉斯算子的一般特征值相同，同时标准拉普拉斯算子等谱要求图具有相同的欧拉特征，但归一化拉普拉斯算子在不同循环数的图上也可能等谱。

有定理表明：设 (\Gamma_j) 和 (G_j)（(j = 1, 2)）分别是等边连通度量图及其离散对应图，(\Gamma_1) 和 (\Gamma_2) 上的标准拉普拉斯算子等谱，当且仅当 (G_1) 和 (G_2) 上的归一化拉普拉斯算子等谱，且 (G_1) 和 (G_2) 的欧拉特征（等于 (\Gamma_1) 和 (\Gamma_2) 的欧拉特征）相等。

证明思路

• 假设标准拉普拉斯算子等谱 ：定理 24.1 表明 (L_N(G_1)) 和 (L_N(G_2)) 的一般特征值相同，再根据定理 24.6 可知欧拉特征相等。通过特征值 (\lambda = ((2m + 1)\pi)^2) 的重数可判断离散图是否为二分图，进而得出 (L_N(G_1)) 和 (L_N(G_2)) 等谱。
• 假设归一化拉普拉斯算子等谱且欧拉特征相同 ：同样可得出所有一般特征值相等，再关注极值特征值。欧拉特征决定了 (\lambda = (2m\pi)^2) 的重数，根据 (\mu = 2) 是否为归一化拉普拉斯算子的特征值，可确定图是否为二分图，进而得出标准拉普拉斯算子等谱。

该定理意味着，要得到等边等谱度量图，只需检查所有具有相同归一化拉普拉斯算子谱的离散图族，然后保留具有相同欧拉特征的图。

3. 等边图公式 (9.1) 的证明

假设图 (\Gamma) 是连通的，记 (L^{st}(\Gamma)) 在区间 ((0, 2\pi)) 内的特征值为 (\omega_j^2)（(j = 1, 2, \cdots, J)），则 (9.1) 右边的极限可表示为：
[
\begin{align }
&2 - 2\lim_{t \to \infty} \sum_{k_n \neq 0} \frac{1 - 2\cos\frac{k_n}{t} + \cos\frac{2k_n}{t}}{(\frac{k_n}{t})^2}\
=&2 - 2(1 + \beta_1)\lim_{t \to \infty} \sum_{m = 1}^{\infty} \frac{1 - 2\cos\frac{2\pi m}{t} + \cos\frac{4\pi m}{t}}{(\frac{2\pi m}{t})^2} - 2\lim_{t \to \infty} \sum_{m = 0}^{\infty} \sum_{j = 1}^{J} \frac{1 - 2\cos\frac{\omega_j + 2\pi m}{t} + \cos\frac{2(\omega_j + 2\pi m)}{t}}{(\frac{\omega_j + 2\pi m}{t})^2}
\end{align }
]

计算过程

• 第一个极限 ：可使用公式 (9.5) 计算。
• 第二个极限 ：利用 (\omega_j) 关于区间 ((0, 2\pi)) 中心对称的性质，将其转化为：
  [
  \sum_{m = 0}^{\infty} \sum_{j = 1}^{J} \frac{1 - 2\cos\frac{\omega_j + 2\pi m}{t} + \cos\frac{2(\omega_j + 2\pi m)}{t}}{(\frac{\omega_j + 2\pi m}{t})^2} = \frac{1}{2} \sum_{m \in \mathbb{Z}} \sum_{j = 1}^{J} \frac{1 - 2\cos\frac{m + \frac{\omega_j}{2\pi}}{\frac{t}{2\pi}} + \cos\frac{2(m + \frac{\omega_j}{2\pi})}{\frac{t}{2\pi}}}{(\frac{m + \frac{\omega_j}{2\pi}}{\frac{t}{2\pi}})^2}
  ]

通过公式 (\sum_{m \in \mathbb{Z}} \frac{e^{i(m + \alpha)x}}{(m + \alpha)^2} = \frac{2\pi e^{2\pi i\alpha}}{1 - e^{2\pi i\alpha}}x - \frac{(2\pi)^2 e^{2\pi i\alpha}}{(1 - e^{2\pi i\alpha})^2})（(\alpha \notin \mathbb{Z})）可证明上式等于零，最终得到 (2 - 2\lim_{t \to \infty} \sum_{k_n \neq 0} \frac{1 - 2\cos\frac{k_n}{t} + \cos\frac{2k_n}{t}}{(\frac{k_n}{t})^2} = 1 - \beta_1 = \chi)，并可推广到非连通图以得到 (9.1)。

4. 离散拉普拉斯算子的谱间隙

4.1 添加边：组合拉普拉斯算子

考虑离散图增大时谱间隙（即最低两个特征值之差 (\mu_2 - \mu_1)）的变化，关注“小”扰动，如在两个现有顶点之间添加一条边或添加一条悬挂边。

命题 24.10

设 (G) 是连通离散图，(G’) 是由 (G) 在顶点 (m_1) 和 (m_2) 之间添加一条边得到的离散图，(L) 是组合拉普拉斯算子，则：
1. 第一激发特征值满足不等式：(\mu_2(L(G)) \leq \mu_2(L(G’)))。
2. 等式 (\mu_2(L(G)) = \mu_2(L(G’))) 成立当且仅当图 (G) 上的第二特征函数 (\psi_2^G) 可在顶点 (m_1) 和 (m_2) 处取到相等的值，即 (\psi_2^G(m_1) = \psi_2^G(m_2))。

命题 24.11

设 (G) 是连通离散图，(G’) 是由 (G) 添加一个顶点和一条连接新顶点与顶点 (m_1) 的边得到的图，则：
1. 组合拉普拉斯算子的第一激发特征值满足不等式：(\mu_2(L(G)) \geq \mu_2(L(G’)))。
2. 等式 (\mu_2(L(G)) = \mu_2(L(G’))) 成立当且仅当对应于 (\mu_2(L(G))) 的每个特征函数 (\psi_2^G) 在 (m_1) 处的值为零，即 (\psi_2^G(m_1) = 0)。

4.2 分割顶点：归一化拉普拉斯算子

考虑将图 (G) 中的一个顶点分割成两个顶点时谱间隙的变化。设 (\hat{G}) 是由 (G) 分割一个顶点得到的图，则归一化拉普拉斯算子的第一激发特征值满足不等式：(\mu_2(L_N(G)) \geq \mu_2(L_N(\hat{G})))。

4.3 主要定理

定理 24.13（Fiedler）

设 (G) 是连通离散图，则归一化拉普拉斯算子 (L_N(G)) 的谱间隙满足以下下界估计：(\mu_2(L_N(G)) \geq 1 - \cos(\frac{\pi}{N}))，其中 (N) 是图 (G) 中的边数。

证明思路

• 首先将原图形 (G) 的所有边加倍得到图 (G^2)，其归一化拉普拉斯算子 (L_N(G^2)) 与 (L_N(G)) 相同，即 (\mu_2(L_N(G^2)) = \mu_2(L_N(G)))。
• 图 (G^2) 中所有顶点的度数为偶数，存在欧拉路径 (P)，将其视为由 (G^2) 分割顶点得到的环。根据命题 24.12，分割顶点不会增大谱间隙，所以 (\mu_2(L_N(P)) \leq \mu_2(L_N(G^2)) = \mu_2(L_N(G)))。
• 对于路径 (P)，其归一化拉普拉斯算子的每个特征函数是准不变的，代入特征函数方程可得到特征值 (\mu(L_N(P)) = 1 - \cos\frac{\pi}{N}(j - 1))（(j = 0, 1, 2, \cdots, N)），其中第二小的特征值为 (\mu_2(L_N(P)) = 1 - \cos\frac{\pi}{N})，从而证明了定理。

谱间隙估计的尖锐性

考虑由 (M + 1) 个顶点 (V^0, V^1, \cdots, V^N) 依次连接 (N) 条边形成的链图 (G_N)，其归一化拉普拉斯算子的第一特征函数为：
[
\psi_2(V^m) =
\begin{cases}
\frac{1}{\sqrt{2}}, & m = 0 \
\cos\frac{\pi}{N}m, & m = 1, 2, \cdots, N - 1 \
-\frac{1}{\sqrt{2}}, & m = N
\end{cases}
]
对应的特征值为 (\mu_2 = 1 - \cos\frac{\pi}{N})，说明估计是尖锐的。

问题思考

1. 计算由三个顶点连接形成的完全图 (K_3) 的谱，同时考虑组合和归一化拉普拉斯算子，并分析它们谱之间的联系。
2. 推广上述问题，计算任意完全图 (K_M) 的谱，解释谱高度退化的原因，同时考虑组合和归一化拉普拉斯算子。
3. 证明命题 24.10 和 24.11 对于归一化拉普拉斯算子的对应命题。
4. 探讨定理 24.13 对于组合拉普拉斯算子的类似情况。

通过对离散图的特征值、等谱性和谱间隙的研究，我们可以更深入地理解离散图的性质和结构，为相关领域的研究提供理论支持。

相关公式总结

公式描述	公式内容
标准拉普拉斯算子特征值条件	(\begin{cases}0 = \lambda_{1}^{st} < \lambda_{2}^{st} \leq \cdots \leq \lambda_{M - 1}^{st} < \lambda_{M}^{st} = \cdots = \lambda_{N + 1}^{st} = \pi \ \pi < \lambda_{N + 2}^{st} \leq \cdots \leq \lambda_{N + M - 1}^{st} < \lambda_{N + M}^{st} = \cdots = \lambda_{2N + 1}^{st} = 2\pi\end{cases})
公式 (9.1) 右边极限表达式	(2 - 2\lim_{t \to \infty} \sum_{k_n \neq 0} \frac{1 - 2\cos\frac{k_n}{t} + \cos\frac{2k_n}{t}}{(\frac{k_n}{t})^2 = 2 - 2(1 + \beta_1)\lim_{t \to \infty} \sum_{m = 1}^{\infty} \frac{1 - 2\cos\frac{2\pi m}{t} + \cos\frac{4\pi m}{t}}{(\frac{2\pi m}{t})^2} - 2\lim_{t \to \infty} \sum_{m = 0}^{\infty} \sum_{j = 1}^{J} \frac{1 - 2\cos\frac{\omega_j + 2\pi m}{t} + \cos\frac{2(\omega_j + 2\pi m)}{t}}{(\frac{\omega_j + 2\pi m}{t})^2})
特征值公式	(\sum_{m \in \mathbb{Z}} \frac{e^{i(m + \alpha)x}}{(m + \alpha)^2} = \frac{2\pi e^{2\pi i\alpha}}{1 - e^{2\pi i\alpha}}x - \frac{(2\pi)^2 e^{2\pi i\alpha}}{(1 - e^{2\pi i\alpha})^2})
谱间隙下界估计	(\mu_2(L_N(G)) \geq 1 - \cos(\frac{\pi}{N}))

mermaid 流程图

graph LR
    A[离散图 G] -->|添加边| B[图 G']
    A -->|分割顶点| C[图 Ĝ]
    B -->|谱间隙变化| D[谱间隙可能增大]
    C -->|谱间隙变化| E[谱间隙可能减小]
    A -->|边加倍| F[图 G²]
    F -->|存在欧拉路径| G[路径 P]
    G -->|谱间隙关系| H[μ₂(Lₙ(P)) ≤ μ₂(Lₙ(G²)) = μ₂(Lₙ(G))]

5. 谱特性的深入分析与应用展望

5.1 谱特性的深入理解

离散图的谱特性，如特征值、等谱性和谱间隙，反映了图的内在结构和性质。二分图的特征值分布规律为我们提供了判断图是否为二分图的依据，同时也揭示了狄利克雷和标准拉普拉斯算子特征值之间的关系。等谱性的研究则有助于我们寻找具有相同谱的图，这在图的分类和识别中具有重要意义。谱间隙的估计为我们了解图的连通性和稳定性提供了量化指标。

5.2 应用领域展望

• 网络分析 ：在社交网络、电力网络等领域，离散图可以用来表示网络的结构。通过分析图的谱特性，我们可以了解网络的连通性、聚类性等性质，从而优化网络的设计和管理。例如，通过调整网络中的边（相当于在离散图中添加或删除边），可以改变网络的谱间隙，进而提高网络的稳定性。
• 机器学习 ：在图神经网络中，图的谱特性可以作为输入特征，帮助模型更好地理解图的结构和语义。例如，利用图的特征值可以进行图的降维，减少计算复杂度。
• 物理系统模拟 ：在量子物理、统计物理等领域，离散图可以用来模拟物理系统的结构。通过研究图的谱特性，我们可以了解物理系统的能量分布、相变等性质。

5.3 未来研究方向

• 更复杂图的谱特性研究 ：目前的研究主要集中在简单的离散图上，未来可以考虑研究更复杂的图，如加权图、有向图等的谱特性。
• 谱特性与图的其他性质的关联研究 ：除了连通性和稳定性，图还有许多其他性质，如对称性、周期性等。未来可以研究谱特性与这些性质之间的关联，以更全面地了解图的结构。
• 谱特性在实际问题中的应用优化 ：将谱特性应用到实际问题中时，还需要考虑许多实际因素，如计算复杂度、数据噪声等。未来可以研究如何优化谱特性的应用，以提高实际问题的解决效率。

6. 总结

本文围绕离散图的谱特性展开了深入研究，涵盖了二分图与特征值不等式、归一化和标准拉普拉斯算子的等谱性、等边图公式证明以及离散拉普拉斯算子的谱间隙等方面。通过理论推导和实例分析，我们得到了一系列重要的结论：
1. 二分图的特征值满足特定的不等式关系，这为判断图的二分性提供了依据。
2. 标准拉普拉斯算子和归一化拉普拉斯算子的等谱性与图的欧拉特征密切相关，通过检查离散图的归一化拉普拉斯算子谱和欧拉特征，可以找到等边等谱度量图。
3. 利用离散图的谱结构，我们证明了等边图的公式 (9.1)，为计算图的欧拉特征提供了新的方法。
4. 对于离散拉普拉斯算子的谱间隙，我们得到了添加边和分割顶点时谱间隙的变化规律，并给出了归一化拉普拉斯算子谱间隙的下界估计。

这些结论不仅加深了我们对离散图谱特性的理解，还为离散图在网络分析、机器学习等领域的应用提供了理论支持。未来，我们可以进一步拓展研究范围，探索更复杂图的谱特性以及谱特性与图其他性质的关联，以推动离散图理论和应用的发展。

相关结论总结

研究内容	主要结论
二分图特征值	狄利克雷和标准拉普拉斯算子特征值不等式对二分图任意 (n) 成立，非二分图有特定条件
等谱性	标准和归一化拉普拉斯算子等谱与图的欧拉特征有关
公式 (9.1) 证明	利用谱结构证明，可推广到非连通图
谱间隙	添加边和分割顶点时谱间隙有变化规律，归一化拉普拉斯算子谱间隙有下界估计

mermaid 流程图

graph LR
    A[离散图谱特性研究] --> B[理论研究]
    A --> C[应用研究]
    B -->|二分图特征值| D[判断二分性]
    B -->|等谱性| E[寻找等谱图]
    B -->|公式证明| F[计算欧拉特征]
    B -->|谱间隙| G[评估连通性和稳定性]
    C -->|网络分析| H[优化网络设计]
    C -->|机器学习| I[图神经网络输入特征]
    C -->|物理系统模拟| J[了解物理系统性质]
    D -->|应用| K[社交网络分析]
    E -->|应用| L[图的分类和识别]
    F -->|应用| M[物理系统能量分布分析]
    G -->|应用| N[网络稳定性提升]

通过对离散图谱特性的研究，我们为解决实际问题提供了新的视角和方法。在未来的研究中，我们可以进一步挖掘离散图谱特性的潜力，推动相关领域的发展。同时，我们也鼓励读者积极参与到离散图谱特性的研究中来，共同探索这个充满挑战和机遇的领域。