35、二次型与谱估计相关研究

二次型与谱估计相关研究

在数学研究中，二次型以及与之相关的谱估计是一个重要的领域，下面将详细探讨其中的一些关键概念和结论。

1. 不等式的重要意义

存在一个不等式，它具有两个重要的含义：
- 扰动项相对于狄利克雷形式是无穷小形式有界的。
- 不等式 (11.10) 中的常数 (K) 可以选择为：
[K = \left(\sum_{m = 1}^{M} d_m |A^m| + |q| {L^1(\Gamma)}\right) \frac{2}{\epsilon} + 1]
其中 (\epsilon \leq \ell {min})，并且还需满足 (\epsilon \leq \frac{1}{2} \left(\sum_{m = 1}^{M} d_m |A^m| + |q|_{L^1(\Gamma)}\right)^{-1})。

有了这样的 (\epsilon) 和 (K)，我们可以得到双边估计：
[\frac{1}{2} |u’| {L^2(\Gamma)}^2 + |u| {L^2(\Gamma)}^2 \leq Q_{L_S^q}(u, u) + K |u| {L^2(\Gamma)}^2 \leq \frac{3}{2} |u’| {L^2(\Gamma)}^2 + 2K |u|_{L^2(\Gamma)}^2]

这意味着表达式 (11.10) 确定了一个范数，它等价于索伯列夫 (W_2^1) - 范数：
[|u| {W_2^1(\Gamma)}^2 = |u’| {L^2(\Gamma)}^2 + |u|_