41、谱间隙与拓扑扰动分析

谱间隙与拓扑扰动分析

1. 引言

在研究图的谱性质时，谱间隙是一个重要的概念。谱间隙的变化与图的拓扑结构密切相关，本文将探讨在图的拓扑结构发生变化时，如切割或删除边，谱间隙的行为。

2. 切割边对谱间隙的影响

2.1 切割边的操作

当在一个连通度量图 $\Gamma$ 中，将其中一条边 $E_1 = [x_1, x_2]$ 在内部点 $x^ \in (x_1, x_2)$ 处切割时，会得到一个新的图 $\Gamma^ $。新图 $\Gamma^ $ 的边和顶点集合与原图形基本相同，只是将边 $[x_1, x_2]$ 替换为两条边 $[x_1, x_1^ ]$ 和 $[x_2^ , x_2]$，并在顶点集合中添加两个新顶点 $V_1^ = {x_1^ }$ 和 $V_2^ = {x_2^*}$。新图是否仍然连通并不影响后续分析。

2.2 切割边对第一激发特征值的影响

根据定理 12.16，对于连通度量图 $\Gamma$ 和通过切割其中一条边得到的图 $\Gamma^ $，第一激发特征值满足以下不等式：
$\lambda_2(\Gamma) \geq \lambda_2(\Gamma^ )$

如果 $\lambda_2(\Gamma^ ) = \lambda_2(\Gamma)$，则对应于 $\lambda_2(\Gamma)$ 的每个特征函数 $\psi_2$ 在切割点 $x^ $ 处满足 Neumann 条件：$\psi_2^\prime(x^ <