40、量子图的谱隙与拓扑扰动分析

量子图的谱隙与拓扑扰动分析

1. 谱隙估计

在研究量子图的谱性质时，谱隙的估计是一个重要的问题。对于完全图 (K_M)，我们可以通过Cut B方法来进行谱隙的估计。相关的长度参数如下：
- 上 (K_M) 中每条边的长度 (\ell=\frac{2L}{M(M - 1)})；
- 被切割的边的数量为 (M - 1)；
- 两部分的体积分别为 (L(\Gamma_1) = (\ell - a)(M - 1))，(L(\Gamma_2)=\frac{M - 2}{M}L)。

谱隙 (\lambda_2) 的估计式为：
(\lambda_2\leq\frac{L(M - 1)a^{-1}}{(\ell - a)(M - 1)\frac{M - 2}{M}L}=\frac{1}{a(\ell - a)}\frac{M}{M - 2})

当选择 (a = \frac{\ell}{2}) 时，可得到最佳估计：
(\lambda_2\leq\frac{M^3(M - 1)^2}{M - 2}\frac{1}{L^2}\sim_{M\rightarrow\infty}\frac{M^4}{L^2})

而完全图 (K_M) 谱隙的精确值为：
(\lambda_2(K_M)=\frac{M^2(M - 1)^2}{4L^2}(\arccos(-\frac{1}{M - 1}))^2\sim_{M\rightarrow\infty}\frac{\pi^2}{16}\frac{M^4}{L^2})

可以看出，Cut B方法提供的估计具有几乎正确的渐近行为（因子为11而非 (\frac{\pi^2}{16}