38、量子典型性与打包引理：原理、应用与证明

量子典型性与打包引理：原理、应用与证明

1. 量子系统的类型方法

1.1 希尔伯特空间的划分

在量子系统中，我们可以将(n)个量子位的希尔伯特空间划分为不同的类型类子空间，这类似于将所有序列集合划分为不同的类型类。以三个量子比特的希尔伯特空间为例，其计算基是整个希尔伯特空间的一组正交基：
({|000⟩, |001⟩, |010⟩, |011⟩, |100⟩, |101⟩, |110⟩, |111⟩})
具有相同汉明重量的计算基态构成了每个类型类子空间的一组基。具体的类型类子空间和投影算子如下：
| 类型类子空间 | 子空间表示 | 投影算子 |
| — | — | — |
| (T_0) | ({|000⟩}) | (\Pi_0 \equiv|000⟩⟨000|) |
| (T_1) | ({|001⟩, |010⟩, |100⟩}) | (\Pi_1 \equiv|001⟩⟨001| + |010⟩⟨010| + |100⟩⟨100|) |
| (T_2) | ({|011⟩, |101⟩, |110⟩}) | (\Pi_2 \equiv|011⟩⟨011| + |101⟩⟨101| + |110⟩⟨110|) |
| (T_3) | ({|111⟩}) | (\Pi_3 \equiv|111⟩⟨111|) |

1.2 相关定义

• 类型类子空间 ：类型类子空间是由所有具有相同类型的状态所张成的子空间，定义为：
  (T_t^{A_n} \equiv \text{span}\left{|x^n⟩ {A_n}