47、量子图中的谱理论与相关定理研究

量子图中的谱理论与相关定理研究

1. 一个参数固定，两个参数变化情况

1.1 本征函数验证与表达

在某些计算中，通过检查计算所得函数的零点数量，可以证明已得到新薛定谔算子的所有本征函数。另一种验证方法是使用公式(\psi_{n + 1} = \frac{1}{\lambda_1 - \lambda_{n + 1}}\frac{1}{\psi_1}\frac{d}{dx}(\psi_1\hat{\psi}_n))，将原本征函数用新的本征函数表示出来。

1.2 反转 Crum 过程

我们寻找这样一个薛定谔算子(L_h^q)，它在区间上的谱与诺伊曼拉普拉斯算子相同，即(\lambda_{n + 1} = n^2\pi^2)（(n = 0, 1, 2, \cdots)），其本征函数为(\hat{\psi}_n = \sin \pi nx)。假设消除基态后得到狄利克雷拉普拉斯算子(L^D = L_0^D)，其谱为(\hat{\lambda}_n = n^2\pi^2)（(n = 1, 2, \cdots)）。

为了找到(q)，我们研究里卡蒂方程(v’ + v^2 = q(x) - \lambda_1 = 0)，这意味着(-v’ + v^2 = 0)。该微分方程的一个可能解是(v(x) = \frac{-1}{x + 1})，从而得到势函数(q(x) = 2\frac{d}{dx}v(x) = \frac{2}{(x + 1)^2})。

基态可以通过(v)是其对数导数来计算，即(\psi_1(x) = \frac{1}{x + 1})。为了确定算子(L_h^q)，还需要给出罗宾参数，(h_0 = v(0) = -1)，(h_