1、量子图：从基础到前沿的探索

量子图：从基础到前沿的探索

1. 量子图的引入

在众多应用场景中，当我们关注波在由边（键）连接形成顶点（节点）的度量图上的传输或传播时，度量图上的微分算子便自然出现。这类问题在过去二十年中逐渐流行，如今被称为量子图，尽管所研究的系统不一定具有量子力学解释。

我们可以把量子图想象成一组连接在一起的弦，形成类似蜘蛛网的结构，其频谱就是这些弦的本征频率集合。所建模的系统不一定是局部一维的，只要其动力学本质上局限于几个低维流形的邻域集合即可。例如，威尼斯或阿姆斯特丹的运河，如果只关注最短路径，将其近似为一维网络就足够了；但如果考虑小船在狭窄运河中的避让情况，运河的形状就变得重要了。

量子图研究的历史可以追溯到20世纪50年代Klaus Ruedenberg和Charles W. Scherr的工作，甚至可以追溯到20世纪30年代Linus Pauling的研究。到了80年代，随着纳米电子设备的制造，图状结构上的微分算子研究迎来了复兴，此后在众多数学物理、算子理论和微分方程会议中频繁出现。量子图如今已成为现代数学物理中一个极具吸引力的领域，它介于微分方程、离散数学和代数几何之间，数论和各种zeta函数等相邻数学领域也在其中发挥着重要作用，并且该领域仍在快速发展，不断有意外的结果出现。例如，度量图上的拉普拉斯算子最近被发现能产生明确的晶体测度示例，这一成果困扰了傅里叶分析专家数十年。

2. 个人与量子图的邂逅

1987年4月，Pavel Exner和Petr Šeba从Dubna来到Leningrad访问Boris Pavlov的团队，邀请大家进入一个全新的数学物理领域，作者由此第一次接触到量子图（当时还未正式命名）。这些问题与作者团队在量子力学中