39、谱隙与Cheeger方法：量子图中的谱估计

谱隙与Cheeger方法：量子图中的谱估计

1. 谱隙与特征函数基础

首先，我们来看谱隙与特征函数的一些基础内容。在特定的构造中，所得到的特征函数并非基态，原因主要有两点：
- 标准拉普拉斯算子的基态是一个非零常数函数，但构造出的函数在连接顶点处为零。
- 而且，构造出的函数在构造过程中就与常数函数正交。

对于长度为 $\ell$ 的区间，在端点处满足狄利克雷和诺伊曼条件时，我们有 $\lambda_1 = (\frac{\pi}{2\ell})^2$。并且，特定等式成立的条件是图为长度为 $L$ 的狄利克雷 - 诺伊曼线段。这是因为只有在证明中所有估计都取等号时，等式才成立。具体来说，图 $\Gamma \sqcup_{V^0} \Gamma$ 需要具有最小的谱隙，从而与长度为 $2L$ 的区间重合，同时构造的特征函数要与长度为 $2L$ 区间上的第二特征函数重合，所以图 $\Gamma$ 就是长度为 $L$ 的狄利克雷 - 诺伊曼线段。

2. Cheeger方法概述

J. Cheeger提出了一种有效估计黎曼流形上拉普拉斯算子谱隙的方法，该方法已成为微分几何中的标准工具。我们的目标是将Cheeger的思想应用到量子图上。

Cheeger方法的基本思想是，第一个非平凡特征函数 $\psi_2$ 应同时取到正值和负值，因为它与 $\psi_1 \equiv 1$ 正交，即 $\psi_2$ 至少有两个节点域。虽然我们对这些节点域了解不多，但可以在不知道它们位置和大小的情况下获得估计。节点域之间的边界 $S$ 可以将流形分割成两个或多个带边界的子流形，可将其视为原流形 $M$ 的一个切割，将其分为子流形 $M_1$ 和