5、多元正态分布与机器视觉中的模型应用

多元正态分布与机器视觉中的模型应用

在机器视觉领域，多元正态分布是表示不确定性最常用的方式。下面我们将深入探讨其主要性质，以及机器视觉中涉及的模型类型与相关问题的解决方法。

1. 多元正态分布的基本概念

多元正态分布有两个关键参数：均值 $\mu$ 和协方差 $\Sigma$。均值 $\mu$ 是一个 $D×1$ 的向量，描述了分布的位置；协方差 $\Sigma$ 是一个对称的 $D×D$ 正定矩阵（即对于任何实向量 $z$，$z^T \Sigma z$ 为正），描述了分布的形状。其概率密度函数为：
[Pr(x) = \frac{1}{(2\pi)^{D/2}|\Sigma|^{1/2}} \exp \left(-0.5(x - \mu)^T \Sigma^{-1}(x - \mu) \right)]
也可简写为：
[Pr(x) = Norm_x [\mu, \Sigma]]

2. 协方差矩阵的类型

协方差矩阵在多元正态分布中有三种形式：球形、对角和完全协方差。以二维情况为例：
- 球形协方差矩阵：
[\Sigma_{spher} = \begin{bmatrix} \sigma^2 & 0 \ 0 & \sigma^2 \end{bmatrix}]
它是单位矩阵的正倍数，对角元素值相同，其他元素为零。球形协方差产生圆形等密度轮廓。
- 对角协方差矩阵：
[\Sigma_{diag} = \begin{bmatrix} \sigma_1^2 & 0 \ 0 & \sigma_2^2 \end{bmatrix}]
对角元素为不同的正值，其