3、常见概率分布与模型拟合方法详解

常见概率分布与模型拟合方法详解

常见概率分布

• 单变量正态分布
  • 单变量正态分布定义在 $x \in R$ 上，有两个参数 ${\mu, \sigma^2}$。其中，均值参数 $\mu$ 决定期望值，方差 $\sigma^2$ 决定围绕均值的集中程度。随着 $\sigma^2$ 增大，分布变得更宽更平坦。其概率密度函数为：$Pr(x|\mu, \sigma^2) = Norm_x[\mu, \sigma^2] = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left[-\frac{0.5(x - \mu)^2}{\sigma^2}\right]$。
• 正态缩放逆伽马分布
  • 该分布定义了双变量连续值 $\mu$ 和 $\sigma^2$ 的概率分布，其中 $\mu \in [-\infty, \infty]$ 且 $\sigma^2 \in [0, \infty]$。它有四个参数 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$、$\delta$，其中 $\alpha$、$\beta$ 和 $\gamma$ 是正实数，$\delta$ 可以取任意值。概率密度函数为：$Pr(\mu, \sigma^2) = \frac{\sqrt{\gamma}}{\sigma\sqrt{2\pi}} \frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma[\alpha]} \left(\frac{1}{\sigma^2}\right)^{\alpha + 1} \exp\left[-\frac{2\beta +