46、图变换中的多合并与拉推合并理论

图变换中的多合并与拉推合并理论

1. 多合并理论扩展

在图变换领域，多合并理论是对传统合并理论的重要扩展。传统的合并理论适用于普通的图规则对，而多合并理论则将其推广到了具有应用条件的多个规则的情况。

1.1 交互方案与最大匹配

交互方案定义了一组核态射。与具体的束不同，在应用交互方案时，会计算多规则的所有可能匹配，这些匹配在给定的核匹配上达成一致，并形成可合并的变换束。

例如，交互方案 ${\ s_1, s_2\ }$ 包含图 1 中的两个核态射。对于核匹配 $m_0$，匹配 $m_1$、$m_2$、$m_3$ 是最大的，它们是 s - 可合并的，并且任何其他与 $m_0$ 一致的 $p_1$ 或 $p_2$ 的匹配只会包含已经匹配的元素。

核匹配	最大匹配
$m_0$	$m_1, m_2, m_3$

这种技术对于定义可视化语言的语义非常有用。以状态图为例，由同一事件触发的未知数量的状态转换（高度依赖于实际系统状态）可以并行处理。

1.2 多合并理论的应用与意义

多合并理论将传统的合并理论推广到了粘性范畴中的多合并情况。在[4]中，补规则和合并定理是基于集合论基础，针对没有任何应用条件的普通图规则对提出的。而本文中的补规则和多合并定理在具有应用条件的 n 个规则的粘性和弱粘性 HLR 范畴中是有效的。

这些推广对于并行图变换在基于通信的系统、从 BPMN 到 BPEL 的模型变换以及可视化语言的操作语义建模等方面的应用非常重要。多合并理论为分析操作语义的有趣属性（如终止性、局部合流性和功能行为）提供了坚实的数学基础。

2. 范畴与胶合范畴基础

2.1 范畴的定义

范畴 $C$ 是一个元组 $(ObjC, MorC, src, trg, I, \cdot)$，其中：
- $ObjC$ 是对象的集合。
- $MorC$ 是箭头或态射的集合。
- $src$ 和 $trg$ 分别将每个态射映射到其源对象和目标对象。
- $\cdot$ 是二元合成运算符，合成是结合的。
- $I$ 为每个对象 $A$ 关联一个态射 $I_A$，它是合成的左右单位元。

2.2 胶合范畴的定义

胶合范畴是范畴 $C$ 的扩展，满足以下条件：
- 对于任意两个对象 $A$ 和 $B$，同态集 $MorC[A, B]$ 是一个具有序关系 $\sqsubseteq_{A,B}$、二元交 $\sqcap_{A,B}$ 和二元并 $\sqcup_{A,B}$ 的分配格。
- 合成在两个参数上关于 $\sqsubseteq$ 是单调的，并且从两侧对 $\sqcup$ 分配。
- 每个态射 $R : A \to B$ 都有一个逆 $R^{\smile} : B \to A$。
- 满足对合方程：$(R^{\smile})^{\smile} = R$，$I_A^{\smile} = I_A$，$(R \cdot S)^{\smile} = S^{\smile} \cdot R^{\smile}$。
- 转换关于 $\sqsubseteq$ 是单调的。
- 对于所有的 $Q : A \to B$、$R : B \to C$ 和 $S : A \to C$，模态规则成立：$Q \cdot R \sqcap S \sqsubseteq (Q \sqcap S \cdot R^{\smile}) \cdot R$。

2.3 关系属性的刻画

在胶合范畴中，可以刻画许多关系属性：
| 属性 | 定义 |
| ---- | ---- |
| 单值性 | $R^{\smile} \cdot R \sqsubseteq I_B$ |
| 完全性 | $I_A \sqsubseteq R \cdot R^{\smile}$ |
| 单射性 | $R \cdot R^{\smile} \sqsubseteq I_A$ |
| 满射性 | $I_B \sqsubseteq R^{\smile} \cdot R$ |
| 映射性 | 单值且完全 |
| 双射性 | 单射且满射 |

另一个重要属性是双功能性：态射 $R$ 是双功能的当且仅当 $R \cdot R^{\smile} \cdot R \sqsubseteq R$。

3. 图的胶合范畴

3.1 图的定义

图 $G_i$ 是一个基于签名 $sigGraph := \langle sorts: V, E; ops: s, t : E \to V \rangle$ 的代数，它由两个集合 $V_i$ 和 $E_i$ 以及两个映射（全函数）$s_i, t_i : E_i \to V_i$ 组成。

3.2 图的双模拟

给定两个图 $G_1$ 和 $G_2$，双模拟 $\Phi : G_1 \to G_2$ 是一对关系 $\Phi = (\Phi_V, \Phi_E)$，其中 $\Phi_V : V_1 \to V_2$ 和 $\Phi_E : E_1 \to E_2$ 满足：
- $\Phi_E \cdot s_2 \sqsubseteq s_1 \cdot \Phi_V$
- $\Phi_E \cdot t_2 \sqsubseteq t_1 \cdot \Phi_V$

在谓词逻辑中，第一个条件可以表示为：$\forall e_1 : E_1; e_2 : E_2 \cdot (e_1, e_2) \in \Phi_E \Rightarrow (s_1(e_1), s_2(e_2)) \in \Phi_V$

3.3 子图的半补和相对伪补

在胶合范畴中，对于子标识 $p : SubId A$，其半补 $p^{\sim} : SubId A$ 定义为满足 $p \sqcup p^{\sim} = I_A$ 的最小子标识。

对于子标识 $p, q : SubId A$，相对伪补 $p \to q$ 定义为：$x \sqcap p \sqsubseteq q \Leftrightarrow x \sqsubseteq (p \to q)$

4. 制表与余制表

4.1 映射方形的交换条件

在胶合范畴中，给定一个映射方形：

graph LR
    A -->|P| B
    A -->|Q| C
    B -->|R| D
    C -->|S| D

有 $P \cdot R = Q \cdot S$ 当且仅当 $P^{\smile} \cdot Q \sqsubseteq R \cdot S^{\smile}$。

这表明在关系设置中，寻找跨度 $B \stackrel{P}{\longleftarrow} A \stackrel{Q}{\longrightarrow} C$ 的推出时，只需要考虑对角线 $P^{\smile} \cdot Q$；对偶地，寻找余跨度 $B \stackrel{R}{\longrightarrow} D \stackrel{S}{\longleftarrow} C$ 的拉回时，只需要考虑 $R \cdot S^{\smile}$。

4.2 制表和余制表的定义

• 制表 ：在胶合范畴中，跨度 $B \stackrel{P}{\longleftarrow} A \stackrel{Q}{\longrightarrow} C$ 是 $V : B \to C$ 的制表，当且仅当以下方程成立：
• $P^{\smile} \cdot Q = V$
• $P^{\smile} \cdot P = I_B \sqcap V \cdot V^{\smile}$
• $Q^{\smile} \cdot Q = I_C \sqcap V^{\smile} \cdot V$
• $P \cdot P^{\smile} \sqcap Q \cdot Q^{\smile} = I_A$
• 余制表 ：余跨度 $B \stackrel{R}{\longrightarrow} D \stackrel{S}{\longleftarrow} C$ 是 $W : B \to C$ 的余制表，当且仅当以下方程成立：
• $R \cdot S^{\smile} = W$
• $R \cdot R^{\smile} = I_B \sqcup W \cdot W^{\smile}$
• $S \cdot S^{\smile} = I_C \sqcup W^{\smile} \cdot W$
• $R^{\smile} \cdot R \sqcup S^{\smile} \cdot S = I_D$

制表和余制表在同构意义下是唯一的。如果给定一个映射的余跨度 $B \stackrel{R}{\longrightarrow} D \stackrel{S}{\longleftarrow} C$，那么在胶合范畴 $C$ 中 $R \cdot S^{\smile}$ 的制表是 $Map C$ 中该余跨度的拉回；对偶地，如果给定一个映射的跨度 $B \stackrel{P}{\longleftarrow} A \stackrel{Q}{\longrightarrow} C$，那么 $(P^{\smile} \cdot Q)^{\ast \boxdot}$（如果存在）在胶合范畴 $C$ 中的余制表是 $Map C$ 中该跨度的推出。

4.3 双制表胶合范畴

如果一个胶合范畴对于每个态射都有制表，对于每个双功能态射都有余制表，那么称它为双制表胶合范畴。

5. 胶合范畴中的范畴图变换

5.1 胶合条件与推出补

5.1.1 几乎 - 单射性

给定子标识 $u : SubId A$，关系 $R : A \leftrightarrow B$ 被称为除 $u$ 外几乎 - 单射的，当且仅当 $R \cdot R^{\smile} \sqsubseteq I_A \sqcup u \cdot R \cdot R^{\smile} \cdot u$。

5.1.2 标识条件和悬挂条件

在具有子标识半补 $\sim$ 的胶合范畴中，给定 $\Phi : G \to L$ 和 $X : L \to A$：
- 标识条件成立当且仅当 $X$ 除 $ran \Phi$ 外几乎 - 单射。
- 悬挂条件成立当且仅当 $X \cdot (ran X)^{\sim} \sqsubseteq (ran \Phi) \cdot X$。

这些条件对于图变换中的推出补的存在和性质非常重要。

6. 推挽图变换的融合

6.1 融合概念的提出

关系代数方法对图变换进行了独特的处理，用制表和余制表的局部特征取代了推出和拉回的通用范畴论特征。而胶合范畴理论是关系代数运算的一种弱公理化，与粘性范畴密切对应。在此基础上，我们可以将双推出和双拉回重写步骤融合成一个新的重写概念。

在这个融合的重写概念中，规则可以自然而灵活地包含子图变量，并且重写过程能够删除或复制这些变量的匹配实例。

6.2 融合重写的优势

这种融合的重写概念具有显著的优势，它不仅能够产生传统范畴方法中关键概念的高级描述，还能实现更复杂的重写操作。例如，在处理图的变换时，可以更方便地处理子图的变化，满足不同场景下的需求。

7. 理论总结与展望

7.1 多合并理论总结

多合并理论将传统的合并理论推广到了粘性范畴中的多合并情况，适用于具有应用条件的多个规则。通过引入交互方案和最大匹配，该理论为并行图变换在多个领域的应用提供了坚实的数学基础，如基于通信的系统、模型变换以及可视化语言的操作语义建模等。

多合并理论能够分析操作语义的重要属性，如终止性、局部合流性和功能行为。然而，仍有一些问题有待进一步研究，例如将相关定理推广到多合并规则的情况，特别是基于最大匹配的合并图变换的状态图操作语义。

7.2 胶合范畴中图变换理论总结

胶合范畴为图变换提供了一种新的理论框架。通过对范畴和胶合范畴的定义，我们可以刻画图的各种关系属性，如单值性、完全性、单射性等。图的胶合范畴中，双模拟和子图的半补、相对伪补等概念丰富了图的表示和操作。

制表和余制表的概念建立了拉回和推出与关系理论之间的联系，使得在胶合范畴中进行图变换更加方便。胶合范畴中的范畴图变换通过胶合条件和推出补的定义，为图变换的操作提供了理论支持。

7.3 未来研究方向

• 理论推广 ：将多合并理论中的相关定理，如局部丘奇 - 罗斯定理、并行性定理和局部合流性定理，推广到多合并规则的情况，特别是基于最大匹配的合并图变换的状态图操作语义。
• 应用拓展 ：进一步探索融合重写概念在更多实际场景中的应用，如复杂系统的建模和分析、图形处理等领域。
• 算法优化 ：研究如何优化图变换的算法，提高计算效率，以适应大规模图数据的处理需求。

总结表格

理论	主要内容	应用领域	待研究问题
多合并理论	推广传统合并理论到多规则情况，引入交互方案和最大匹配	并行图变换在通信系统、模型变换、可视化语言建模等	相关定理推广到多合并规则
胶合范畴中图变换理论	定义范畴和胶合范畴，刻画图关系属性，引入制表和余制表	图的表示和操作、图变换	优化算法、拓展应用场景

未来研究方向流程图

graph LR
    A[理论推广] --> B[多合并理论定理推广]
    A --> C[状态图操作语义研究]
    D[应用拓展] --> E[复杂系统建模]
    D --> F[图形处理]
    G[算法优化] --> H[提高计算效率]
    G --> I[适应大规模图数据]

通过对图变换中的多合并与拉推合并理论的研究，我们不仅深入了解了图变换的基本原理和方法，还为未来的研究和应用提供了广阔的空间。随着理论的不断完善和应用的不断拓展，图变换技术有望在更多领域发挥重要作用。