44、嵌套应用条件规则的局部合流性与多合并理论

嵌套应用条件规则的局部合流性与多合并理论

1. 嵌套应用条件规则的局部合流性

在图变换系统中，带有应用条件（ACs）的规则对于表达复杂的变换逻辑至关重要。而嵌套应用条件的引入，进一步提升了规则的表达能力。

1.1 关键对的概念与性质

关键对是图变换系统中用于分析规则冲突和并发的重要工具。对于带有ACs的规则，关键对的定义有所扩展。在新的概念中，关键对除了规则左部的重叠部分，还可能包含相应的负应用条件（NACs）的一部分。

关键对具有完整性，即对于每一对并行依赖的直接变换 (H1 ⇐ρ1,m1 G ⇒ρ2,m2 H2)，都存在一个关键对 (P1 ⇐ρ1,o1 K ⇒ρ2,o2 P2) 以及对应的诱导条件 (acK) 和 (ac∗K)，并且可以通过一个满足 (acK ∧ ac∗K) 的单射态射 (m) 将关键对嵌入到原变换中。反之，每个关键对也可以扩展为一对并行依赖的规则应用。

例如，在规则 (r1 : • ←• →••) 和规则 (r2 : • ←• →••) 且 (r2) 带有 NAC (∄neg : • →•••) 的情况下，当 (K = •) 时，(acK = ∄neg : • →•••)，(ac∗K = (∃pos1 : • →••)∨(∃pos2 : • →•••))。这表明当图 (G) 相对于 (K) 包含一个额外节点时，扩展态射 (m : K →G) 会导致通过 (r1) 和 (r2) 的一对冲突变换，从而验证了弱关键对 (P1 ⇐r1 K ⇒r2 P2) 确实是一个关键对。

1.2 局部合流性定理

为了证明图变换系统的局部合流性，需要要求所有关键对都是合流的。然而，即使在普通图变换规则的情况下，仅这一点也不足以证明局部合流性。

假设存在两个一步变换 (H1 ⇐G ⇒H2)，根据关键对的完整性，存在一个关键对 (P1 ⇐K ⇒P2) 可以嵌入到该变换中。如果关键对是普通严格合流的，即存在变换 (P1 ∗⇒K′ ∗⇐P2)，在不考虑ACs的情况下，可以将其嵌入到变换 (H1 ∗⇒H ∗⇐H2) 中。但考虑ACs时，可能会因为匹配态射不满足规则的ACs而无法应用某些规则。

为了解决这个问题，对于每个不考虑ACs的变换 (t : K ∗⇒K′)，可以计算一个条件 (ac(t))，它等价于变换中所有的ACs。如果能证明AC兼容性，即 (acK) 和 (ac∗K) 蕴含 (ac(t)) 和 (ac(t′))（其中 (t : K ⇒P1 ∗⇒K′ ∗⇐P2 ⇐K : t′)），那么就可以知道变换 (H1 ∗⇒H ∗⇐H2) 中的所有规则应用都满足相应的ACs。AC兼容性加上普通严格合流性被称为严格AC合流性。

计算 (ac(t)) 的步骤如下：
1. 使用引理1中的移位构造，将规则 (ρi) 上的AC (acLi) 转换为 (Pi) 上的等价条件 (Shift(mi, acLi))。
2. 反复应用引理2中的构造，将 (Pi) 上的每个条件 (Shift(mi, acLi)) 转换为 (P1) 上的等价条件 (ac′i)。
3. (ac(t)) 就是所有这些条件的合取，即 (ac(t) = \bigwedge_{i} ac′i)。

局部合流性定理表明，一个带有ACs的变换系统是局部合流的，当且仅当所有关键对都是严格AC合流的。

例如，在一个电梯系统的例子中，规则“process stop down”和“move down”可以应用于 (P2) 得到 (K′ = P1)，并且这个解是严格的，因为它不删除楼层和电梯。同时，可以证明这个解是AC兼容的，从而根据局部合流性定理得出该变换对是局部合流的。这意味着在一个四层建筑中处于下行模式且最低楼层有请求的电梯，可以先处理生成的停止请求，然后继续下行，而不是立即下行。

下面是一个简单的mermaid流程图，展示了局部合流性的判断过程：

graph LR
    A[开始] --> B[存在并行依赖变换H1 ⇐ G ⇒ H2]
    B --> C[找到关键对P1 ⇐ K ⇒ P2并嵌入]
    C --> D{关键对是否普通严格合流}
    D -- 是 --> E{是否满足AC兼容性}
    D -- 否 --> F[非局部合流]
    E -- 是 --> G[局部合流]
    E -- 否 --> F

2. 粘合范畴中的多合并理论

合并是图变换中用于建模具有共享子规则和相应变换的规则同步并行性的重要概念。然而，目前双推出方法的合并理论仅在没有任何应用条件的标准图规则对的集合论基础上得到发展。

2.1 合并的历史背景

粘合和（弱）粘合高级替换（HLR）范畴的概念为代数图变换的双推出方法带来了突破。几乎所有主要结果都可以在这些范畴框架中表述和证明，并应用于各种HLR系统，包括不同类型的图和Petri网变换系统。

但到目前为止，合并定理仅在没有应用条件的标准图规则对的集合论基础上得到发展。在相关研究中，并行性定理被推广到合并定理，其中并行独立性的假设被放弃，纯并行性被推广到同步并行性。两个规则 (p1) 和 (p2) 的同步通过一个公共子规则 (p0) 来表达，通过规则态射 (si : p0 →pi) 进行形式化。(p1) 和 (p2) 可以沿着 (p0) 粘合得到一个合并规则 (\tilde{p} = p1 +p0 p2)。合并定理表明，每一对可合并的直接变换 (G = {pi,mi}==⇒Gi (i = 1, 2)) 通过 (p1) 和 (p2) 会导致一个通过 (\tilde{p}) 的合并变换 (G = {\tilde{p}, \tilde{m}}==⇒H)，反之亦然。

此外，补规则定理允许构造一个核态射 (s : p0 →p) 的补规则 (p)，从而得到一个并发规则 (p0 ∗E p) 等于 (p)。并发定理则允许将每个合并变换 (G = {\tilde{p}, \tilde{m}}==⇒H) 分解为序列 (G = {pi}⇒Gi =_{qi}⇒H)，反之亦然。

2.2 本文的目标

合并概念在并行图变换应用于基于通信的系统和可视化语言的操作语义建模中起着关键作用。然而，在大多数应用中，需要对 (n) 个规则进行合并，即多合并，并且这些规则不仅基于标准图规则，还基于包括（嵌套）应用条件的不同类型的带类型和带属性的图规则。

本文的主要思想是填补理论与应用之间的这一差距。为此，开发了基于带有应用条件的规则的粘合和粘合HLR系统的多合并理论。该理论可以实例化到各种图和相应的图变换系统，并且使用弱粘合HLR范畴，还可以应用于带类型带属性的图变换系统。

下面的表格总结了不同类型的图变换系统及其相关理论：
| 图变换系统类型 | 合并理论发展情况 | 应用场景 |
| ---- | ---- | ---- |
| 无应用条件的标准图规则对 | 已在集合论基础上发展 | 简单图变换 |
| 带（嵌套）应用条件的规则 | 本文提出多合并理论 | 基于通信的系统、可视化语言操作语义建模 |

综上所述，嵌套应用条件规则的局部合流性和粘合范畴中的多合并理论为图变换系统的研究和应用提供了更强大的工具和理论支持。通过这些理论，可以更好地处理复杂的图变换问题，提高系统的表达能力和并行性。在未来的研究中，还需要进一步完善这些理论，特别是在嵌套应用条件的可满足性和蕴含求解器的实现方面，以推动图变换技术在更多领域的应用。

3. 多合并理论的具体内容与应用

3.1 多合并定理

本文在粘合范畴框架下提出了多合并理论，该理论同样适用于弱粘合HLR范畴。主要结果是多合并定理，它将著名的并行性和合并定理推广到了多个规则同步并行的情况。

假设有一组带有（嵌套）应用条件的规则，多合并定理允许我们将这些规则进行同步合并。具体来说，对于多个可合并的规则 (p_1, p_2, \cdots, p_n)，存在一个合并规则 (\tilde{p})，使得这些规则的同步并行变换可以通过这个合并规则来表示。

例如，在一个复杂的通信系统中，可能有多个不同的规则用于处理不同的消息类型。这些规则可能有一些共享的子规则，通过多合并定理，可以将这些规则合并成一个更高效的规则，从而更准确地模拟系统的同步并行行为。

下面是一个简单的mermaid流程图，展示了多合并的过程：

graph LR
    A[多个规则p1, p2, ..., pn] --> B[寻找公共子规则p0]
    B --> C[通过规则态射si : p0 → pi进行同步]
    C --> D[生成合并规则p̃]
    D --> E[进行合并变换G = p̃, m̃ ==⇒ H]

3.2 运行示例

为了更好地理解多合并理论，我们通过一个小的运行示例来进行说明。

假设我们有三个规则 (p_1)、(p_2) 和 (p_3)，它们分别用于处理不同的图变换任务。这些规则都带有嵌套的应用条件，以确保在特定的图结构下才能应用。

规则 (p_1)：用于在图中添加一个节点，应用条件要求图中不存在特定的子图结构。
规则 (p_2)：用于连接两个节点，应用条件要求这两个节点满足一定的属性条件。
规则 (p_3)：用于删除一个节点，应用条件要求该节点与其他节点的连接关系满足特定条件。

通过多合并理论，我们可以找到这三个规则的公共子规则 (p_0)，并将它们合并成一个合并规则 (\tilde{p})。在进行图变换时，我们可以直接应用这个合并规则，而不需要分别应用这三个规则，从而提高了变换的效率。

具体步骤如下：
1. 分析规则 (p_1)、(p_2) 和 (p_3)，找到它们的公共子规则 (p_0)。
2. 通过规则态射 (s_i : p_0 → p_i) （(i = 1, 2, 3)）将这些规则进行同步。
3. 生成合并规则 (\tilde{p})。
4. 对于一个给定的图 (G)，如果存在满足合并规则 (\tilde{p}) 应用条件的匹配，就可以进行合并变换 (G =_{\tilde{p}, \tilde{m}}==⇒ H)。

3.3 案例研究

除了运行示例，还在一个单独的论文中展示了一个更复杂的案例研究，即基于多合并的状态图操作语义的案例。

状态图是一种用于描述系统状态和状态转换的可视化建模语言。在状态图的操作语义中，通常需要处理多个规则的同步并行执行。通过多合并理论，可以更准确地模拟状态图的并行行为，从而提高状态图的建模能力。

在这个案例研究中，使用了带类型带属性的图来表示状态图的不同状态和转换规则。通过多合并理论，将这些规则进行合并，得到一个更高效的合并规则，用于模拟状态图的整体行为。

4. 总结与展望

4.1 总结

本文围绕嵌套应用条件规则的局部合流性和粘合范畴中的多合并理论展开了研究。在局部合流性方面，我们扩展了关键对的概念，提出了严格AC合流性的概念，并证明了带有ACs的变换系统局部合流的条件。在多合并理论方面，我们将合并理论从简单的标准图规则对扩展到了带有（嵌套）应用条件的多个规则，提出了多合并定理，为图变换系统的并行性处理提供了更强大的工具。

通过表格的形式对本文的主要内容进行总结：
| 理论 | 主要概念 | 主要结果 | 应用场景 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 嵌套应用条件规则的局部合流性 | 关键对、严格AC合流性 | 带有ACs的变换系统局部合流的条件 | 复杂图变换规则的冲突处理 |
| 粘合范畴中的多合并理论 | 多合并定理 | 多个规则的同步并行变换可通过合并规则表示 | 基于通信的系统、状态图操作语义建模 |

4.2 展望

虽然本文提出的理论为图变换系统的研究和应用提供了重要的支持，但仍有一些方面需要进一步完善。

在嵌套应用条件规则的局部合流性方面，嵌套应用条件的可满足性和蕴含求解器的实现还需要更多的工作。目前，这些问题的求解仍然具有一定的挑战性，需要开发更高效的算法和工具。

在多合并理论方面，虽然多合并定理将并行性和合并定理进行了推广，但在实际应用中，如何更高效地找到公共子规则和生成合并规则，还需要进一步研究。

未来的研究可以围绕这些问题展开，不断完善这些理论，推动图变换技术在更多领域的应用，如人工智能、软件工程、自动化控制等。通过不断的研究和实践，图变换系统将能够更好地处理复杂的实际问题，为各个领域的发展提供更强大的支持。