47、合并推挤与拉回图变换的相关研究

合并推挤与拉回图变换的相关研究

在图变换领域，推挤（Pushout）和拉回（Pullback）是两种重要的方法，它们各有优缺点。本文将详细介绍如何在范畴（Collagories）中合并推挤和拉回图变换，结合两者的优势，实现更强大的图变换功能。

推挤补与拉回补

• 推挤补（Pushout Complement）
  • 悬空条件（Dangling Condition） ：Kawahara使用了基于相对伪补的不同悬空条件，在识别条件下，它等价于基于半补的条件，该条件规定映射到X图像边界的部分应仅从ran Φ开始，这与常见的基于项的悬空条件定义相近。
  • 子对象宿主构造（Subobject Host Construction） ：给定两个态射Φ : G → L和X : L → A，若q是A上的子恒等态射，G Φ - L X - A的子对象宿主构造是一个图G Ξ - H Ψ - A，其中Ψ是q的子对象注入，Ξ := Φ ., X ., Ψ ⌣。直宿主构造使用q := ran X → ran (Φ ., X )，松散宿主构造使用q := (ran X )∼ ⊔ ran (Φ ., X )。
  • 推挤补定理 ：在具有半补和子恒等态射上相对伪补的范畴中，若Φ和X满足胶合条件，则直宿主构造和松散宿主构造重合，且直宿主构造是Map C中G Φ - L X - A的推挤补。若Φ是单射，则推挤补在同构意义下唯一。
• 拉回补（Pullback Complement）
  • 双拉回方法 ：双拉回方法在范畴上是双推挤方法的严格对偶。给定两个映射D P - B R - A，双拉回方法需要构造一个拉回补D Q - C S - A，即一个对象C和两个映射Q : D → C和S : C → A，使得所得正方形是R和S的拉回。
  • 相干条件（Coherence Condition） ：两个映射D P - B R - A称为相干的，当且仅当存在一个等价关系Θ : D → D，满足P ., P ⌣ ⊓ Θ ⊑ ID和Θ ., P = P ., R ., R ⌣。
  • 拉回补定理 ：若存在等价关系Θ使得P和R相干，则拉回补D Q - C S - A可通过以下步骤获得：
    1. 令C是D关于Θ的商，投影为Q : D → C，即Q满足Q ., Q ⌣ = Θ和Q ⌣ ., Q = IC。
    2. 定义S : C → A为S := Q ⌣ ., P ., R。

下面是推挤补和拉回补的关系流程图：

graph LR
    A[推挤补] --> B[悬空条件]
    A --> C[子对象宿主构造]
    A --> D[推挤补定理]
    E[拉回补] --> F[双拉回方法]
    E --> G[相干条件]
    E --> H[拉回补定理]

胶合设置与拉出示

• 胶合对象（Gluing Object） ：给定一个对象G0和一个部分恒等态射u0 : SubId G0，(G0, u0)称为沿u0的胶合对象，u0称为G0的接口组件，v0 := u∼ 0称为参数组件。
• 接口保持态射（Interface Preserving Morphism） ：一个态射Φ : G0 → G1称为接口保持的，若满足以下条件：
  • 参数部分图像的边界包含在接口组件的图像中：v1 ⊓ v ∼ 1 ⊑ u1。
  • Φ在接口组件上是全的，且仅将G0的常量项与G1的非参数项相关联：dom (Φ ., (v ∼ 1 ⊔ u1)) = u0。
  • Φ在参数图像的边界上是单值的：b1 ., Φ ⌣ ., Φ ⊑ b1。
• 胶合设置（Gluing Setup） ：一个胶合设置(G0, u0, v0, Ξ, Φ)由沿u0的胶合对象G0和一个接口保持态射的跨度G2 Ξ G0 Φ - G1组成，其中G2称为宿主对象，G1称为规则侧。
• 标准胶合态射（Standard Gluing Morphism） ：给定沿u0的胶合对象G0，一个态射Φ : G0 ↔ G1称为标准胶合态射，若满足接口保持、在u0上是全的、在u0上是单值的以及在u0之外几乎是单射的条件。
• 拉出示（Pullout） ：在Dedekind范畴D中，给定一个胶合设置G1 Φ G0 Ξ - G2沿u0，一个关系的上跨G1 X - G3 Ψ 是G1 Φ G0 Ξ - G2沿u0的拉出示，若满足以下条件：
  • Φ ., X = Ξ ., Ψ
  • X ., Ψ ⌣ = (Φ ⌣ ., u0 ., Ξ) ∗⊡ ⊔ Φ ⌣ ., v0 ., Ξ
  • X ., X ⌣ = c1 ., (Φ ⌣ ., u0 ., Ξ)∗▷ ., c1 ⊔ dom (Φ ⌣ ., v0 ., Ξ)
  • Ψ ., Ψ ⌣ = c2 ., (Φ ⌣ ., u0 ., Ξ) ∗◁ ., c2 ⊔ ran (Φ ⌣ ., v0 ., Ξ)
  • I = X ⌣ ., c1 ., X ⊔ Ψ ⌣ ., c2 ., Ψ ⊔ (X ⌣ ., v1 ., X ⊓ Ψ ⌣ ., v2 ., Ψ)

以下是胶合设置和拉出示相关概念的表格：
| 概念 | 定义 |
| ---- | ---- |
| 胶合对象 | (G0, u0)，u0为接口组件，v0为参数组件 |
| 接口保持态射 | 满足特定边界、全性和单值性条件 |
| 胶合设置 | (G0, u0, v0, Ξ, Φ)，包含宿主对象和规则侧 |
| 标准胶合态射 | 满足接口保持等多个条件 |
| 拉出示 | 满足一系列等式条件的关系上跨 |

双拉出示规则（Double - Pullout Rule）

在范畴中，双拉出示规则L ΦL (G, u0) ΦR - R由沿u0的胶合对象G、左右两侧对象L和R以及两个标准胶合态射ΦL : (G, u0) → L和ΦR : (G, u0) → R组成。若规则是左线性的（即ΦL是单值的），且对于应用对象A和态射XL : L ↔ A满足所有前置条件，则规则可应用于A，应用过程为先计算(G, u0) ΦL - L XL - A的拉出示补G Ξ - H ΨL - A，然后构造R XR - B ΨR H的拉出示，其中B是应用结果。

通过上述对推挤补、拉回补、胶合设置、拉出示和双拉出示规则的介绍，我们可以看到如何在范畴中合并推挤和拉回图变换，充分发挥两者的优势，实现更灵活和强大的图变换功能。在实际应用中，我们可以根据具体需求选择合适的方法和规则，以达到最佳的图变换效果。

合并推挤与拉回图变换的相关研究

双表列（Bi - tabulations）

由于拉出示的定义并不需要Φ和Ξ的所有细节，我们从方形图过渡到三角形图，就像之前从拉回到列表、从推挤到余列表的转变一样。这里，我们从以下两个关系开始：
- (U := (Φ^{⌣}., u0., Ξ) ∗⊡)
- (V := Φ^{⌣}., v0., Ξ)

双表列的定义

设(U, V : G1 → G2)，且(c1 ⊑ IG1)，(c2 ⊑ IG2)，定义(v1 := c1^{∼})，(v2 := c2^{∼})。若(U)是双泛函的，且满足直接接口保持条件：
- (dom U ⊑ c1)
- (dom V ⊑ v1)
- (c1., V ⊑ U)
- (ran U ⊑ c2)
- (ran V ⊑ v2)
- (V., c2 ⊑ U)

则一个上跨(G1 X - G3 Ψ G2)称为(V)沿(U)在(c1)和(c2)上的双表列，若满足以下条件：
- (X., Ψ^{⌣}= U ⊔ V)
- (X., X^{⌣}= c1., (I ⊔ U., U^{⌣})., c1 ⊔ (I ⊓ V., V^{⌣}))
- (Ψ., Ψ^{⌣}= c2., (I ⊔ U^{⌣}., U )., c2 ⊔ (I ⊓ V^{⌣}., V))
- (I = X^{⌣}., c1., X ⊔ Ψ^{⌣}., c2., Ψ ⊔ (X^{⌣}., v1., X ⊓ Ψ^{⌣}., v2., Ψ))

双表列的性质

• 唯一性 ：双表列在同构意义下是唯一的。当在双表列范畴中实际构造双表列时，唯一的小技术复杂性来自于将非参数胶合限制在(c1)和(c2)上，这是为了保留(X)和(Ψ)的参数部分可能是部分的可能性。
• 构造方法 ：在满足定义6.7的前置条件下，可通过以下步骤构造双表列：
  1. 令(λ1 : C1 ↣ G1)是(c1)的子对象，(λ2 : C2 ↣ G2)是(c2)的子对象。
  2. 令(C1 Xu - Gu Ψu C2)是(λ1., U., λ2^{⌣})（它是双泛函的）的余列表。
  3. 令(G1 Xv Gv Ψv - G2)是(V)的列表。
  4. 定义(B := Xv., λ1^{⌣}., Xu ⊔ Ψv., λ2^{⌣}., Ψu)。
  5. 令(Gv Λv - G3 Λu Gu)是(B)的胶合，即(B ∗⊡)的余列表。
  6. 定义(X := λ1^{⌣}., Xu., Λu ⊔ Xv^{⌣}., Λv)和(Ψ := λ2^{⌣}., Ψu., Λu ⊔ Ψv^{⌣}., Λv)

下面是双表列构造过程的流程图：

graph LR
    A[定义子对象] --> B[构造余列表]
    B --> C[构造列表]
    C --> D[定义B]
    D --> E[构造胶合]
    E --> F[定义X和Ψ]

双表列与拉出示的关系

由具有标准胶合态射的胶合设置诱导的双表列是定义良好的，并且会产生拉出示。具体来说，给定一个胶合设置((G0, u0, v0, Ξ, Φ))，其中(Φ)和(Ξ)都是标准胶合态射，定义(U := Φ^{⌣}., u0., Ξ)和(V := Φ^{⌣}., v0., Ξ)可确保直接接口保持，并且(V)沿(U)在(c1)上的双表列也是该胶合设置的拉出示。

合并推挤与拉回图变换的优势与应用场景

推挤和拉回图变换各有其独特的优势。推挤图变换（DPO）在规则制定上更直观，但在删除和复制子图方面存在局限性，它只能删除规则中明确提及的项。而拉回图变换（DPB）则可以很容易地表达子图的复制和删除。通过合并这两种方法，我们可以充分发挥它们的优势。

在实际应用中，我们可以使用DPB重写“子图变量”，使用DPO重写“常量上下文部分”。例如，在一个规则(L ΦL (G, u0) ΦR - R)中，胶合图(G)上的子恒等态射(u0)标记其常量部分，其余部分为参数部分。规则的左部（LHS）将胶合图嵌入到额外的常量上下文中，这些上下文将像DPO重写一样被删除；规则的右部（RHS）则复制参数部分。

以下是合并推挤与拉回图变换的应用步骤表格：
| 步骤 | 操作 |
| ---- | ---- |
| 1 | 确定胶合对象和规则的左右部 |
| 2 | 检查规则的适用性，若满足条件则进行下一步 |
| 3 | 计算拉出示补 |
| 4 | 构造拉出示，得到应用结果 |

总结

本文详细介绍了在范畴中合并推挤和拉回图变换的方法，包括推挤补、拉回补、胶合设置、拉出示、双拉出示规则和双表列等重要概念。通过合并这两种图变换方法，我们可以实现更灵活和强大的图变换功能，克服了单一方法的局限性。在实际应用中，我们可以根据具体需求选择合适的方法和规则，以达到最佳的图变换效果。未来，我们可以进一步探索这种合并方法在更多领域的应用，如网络拓扑变换、数据结构转换等，以推动图变换技术的发展。