25、马尔可夫随机场（MRF）的最大后验（MAP）推断方法解析

马尔可夫随机场（MRF）的最大后验（MAP）推断方法解析

1. 二元成对马尔可夫随机场的MAP推断

在二元成对马尔可夫随机场（MRF）中，我们可以通过构建图来进行最大后验（MAP）推断。以简单的一维示例来说明具有对角成对项的二元MRF图的构建。切割后，连接到源的顶点被标记为1，连接到汇的顶点被标记为0。因此，我们将适当的一元成本附加到汇/源与像素顶点之间的链接上，成对成本附加到像素之间的水平链接上，这种安排确保了八种可能解决方案都能对应正确的成本。

为了更清晰地说明，我们使用只有两个像素的更简单图。我们将成对成本$P_{ab}(0,0)$添加到边$s - b$上，在$w_a = 0$且$w_b = 0$的配置中需要支付此成本，但在$w_a = 1$且$w_b = 0$的情况下也会支付。所以，我们从边$a - b$中减去相同的成本。同理，将$P_{ab}(1,1)$添加到边$a - t$并从边$a - b$中减去它，这样每个标签都能关联到正确的成本。

然而，上述讨论假设边的成本都是非负的，可作为最大流问题中的有效容量。但实际情况中，边的成本常常为负，即便原始的一元和成对项为正，图中边$a - b$的成本$P_{ab}(1,0) - P_{ab}(1,1) - P_{ab}(0,0)$也可能为负。解决这个问题的方法是重新参数化。

重新参数化的目标是修改图中边的成本，同时不改变MAP解。具体来说，我们调整边的容量，使每个可能的解都增加一个常数成本，这不会改变哪个解具有最小成本，因此MAP标签保持不变。我们考虑两种重新参数化方法：
- 方法一 ：给给定像素到源的边和同一像素到汇的边添加一个常数成本$\alpha$。由于任