32、有限 M - 黏合范畴的研究与拓展

有限 M - 黏合范畴的研究与拓展

1. 初始推出的构造与性质

给定态射 (m: L \to G)，我们考虑所有 (L) 的 (M) - 子对象 (b_i : B_i \to L) 和 (G) 的 (M) - 子对象 (c_i : C_i \to G)，使得存在关于 (m) 的推出 ((P_i))。由于 (L) 和 (G) 是有限的，这会得到一个有限的指标集 (I) 用于所有的 ((P_i))，其中 (i \in I)。接着，构造 (b: B \to L) 作为 ((b_i) {i\in I}) 的有限 (M) - 交集，构造 (c: C \to G) 作为 ((c_i) {i\in I}) 的有限 (M) - 交集。然后，存在唯一的 (a: B \to C) 使得 ((Q_i)) 对所有 (i \in I) 都可交换，并且外部图 ((1)) 是关于 (m) 的初始推出。

证明思路是通过迭代拉回来构造有限 (M) - 交集 (B) 和 (C)。在每一步中，使用弱 VK 性质来证明推出被拉回，推出的组合使得对角方块也是一个推出。推出 ((1)) 也是初始的，因为对于每个比较推出 ((1’))，存在一个 (i_0 \in I) 使得 ((P_{i_0})) 与 ((1’)) 同构，并且初始性由相应的推出 ((Q_{i_0})) 给出。

对于有限 (M) - 黏合范畴，有以下额外的 HLR - 要求：
1. 具有初始推出。
2. 具有唯一的极值 (E - M) 分解，其中 (E) 是关于 (M) 的所有极值态射的类。
如果范畴有一个 (M) - 初始对象，还满足：
3. 具有与 (M) 兼容的有限余积。
4. 对于