20、基于决策图的优化边界探索：Haddock框架的深入分析

基于决策图的优化边界探索：Haddock框架的深入分析

1. 节点松弛函数与MDD语言

1.1 节点松弛函数

在同一层 $L_i$ 中的两个状态 $a$ 和 $b$ 可以根据松弛函数 $R(a, b)$ 进行松弛（合并），以产生一个新的状态 $s’$。常见的松弛函数定义如下：
$R(a, b) = \langle\min{L\downarrow(a), L\downarrow(b)}, \max{U\downarrow(a), U\downarrow(b)}, \min{L\uparrow(a), L\uparrow(b)}, \max{U\uparrow(a), U\uparrow(b)}\rangle$

对于有序状态集 ${s_0, s_1, …, s_{k - 1}}$，状态松弛可以推广为：
$R(s_0, R(s_1, R(… , R(s_{k - 2}, s_{k - 1}) … )))$

在这个过程中，我们需要保持MDD边界的一致性，即只维护计数的上下界以确保可行性，并依靠上述松弛函数来合并节点，将MDD的宽度限制在最多 $w$ 个状态。

1.2 MDD语言

MDD语言用于定义生成MDD进行传播，其定义如下：

给定一个约束 $c(x_1, …, x_n)$，其作用于有序变量集 $X = {x_1, …, x_n}$，各变量的域为 $D(x_1), …, D(x_n)$，则约束 $c$ 的MDD语言是一个元组 $M_c = \langle X, P, s_{\perp}, s_{\top}, T\downarrow, T\uparrow, U, E_t, E_s,