19、高维图不变量破对称与Haddock决策图优化边界

高维图不变量破对称与Haddock决策图优化边界

1. 高维图不变量破对称

在图搜索问题中，破对称是一个重要的环节。通过将指定的不变量序列组合成乘积形式，可以得到更高效的约束条件。整体而言，乘积约束比链式约束更高效。

从 ⟨fcommon, fadj⟩ 诱导出的乘积破对称约束比相应的链式破对称约束更精确、速度更快。而从 ⟨fadj, fcommon⟩ 诱导出的乘积破对称约束虽然比 ⟨fcommon, fadj⟩ 诱导的约束精确性略低，但速度要快得多。例如，当 n = 9 时，精确性约低 5%，但速度快约 80 倍。并且，所有展示的乘积约束都能在 24 小时的超时时间内生成 10 阶图。

1.1 立方图生成应用

立方图是指每个顶点的度数都为 3 的图。这里考虑生成所有连通的无爪立方图，无爪图是指不包含 K1,3 作为诱导子图的图，对于立方图而言，无爪条件等价于每个顶点都参与一个三角形。

为了生成 n 阶立方无爪连通图，使用了如下约束模型：
- 变量 Gi,j 是未知 n 阶图 G 的布尔变量。
- 方程 (5) 约束每个顶点的度数为 3。
- 方程 (5) 约束图为无爪图（每个顶点必须出现在一个三角形中）。
- 方程 (5) 使用 Floyd - Warshall 最短路径算法的编码约束图 G 是连通的。变量 pki,j 表示顶点 i 和 j 之间是否存在一条中间顶点来自集合 {1 … k} 的路径。

在实验中，应用了涉及 fadj 与集合 {fcommon, ftriangles} 中的一个额外图不变量（及其逆）的链式组合，还应用了 fadj 与 fcommon 及其逆的乘积组