12、树自动机与逻辑：类型、接受问题及收缩方法

树自动机与逻辑：类型、接受问题及收缩方法

在树自动机的研究中，树的接受问题、类型计算以及收缩方法是几个关键的研究点。下面我们将详细探讨这些内容。

类型与接受问题

在树自动机中，树 $T$ 的接受问题与计算（并检查）其 $A$-类型的问题是等价的。这里我们有两个重要命题。

命题 1：给定一个 $D$-增强树自动机 $A$ 和一个（非空完全）$D$-增强树 $T$ 的 $A$-类型 $\sigma$，可以判定 $T$ 是否属于 $L(A)$
设 $A = (A, C, D, S, \Delta, I, F, G)$，$\sigma$ 是如下集合：
[
\left{
\begin{pmatrix}
r_h \
\big{ F_{h,i} : i \in I_h \big} \
\big{ (d_{h,j}, r_{h,j}, G_{h,j}) : j \in J_h \big}
\end{pmatrix} : h \in H
\right}
]
其中 $H$ 是一个有限的索引集，对于所有 $h \in H$，$I_h$ 和 $J_h$ 是有限的索引集，$r_h$ 和 $r_{h,j}$（$j \in J_h$）是 $S$ 中的状态，$d_{h,j}$（$j \in J_h$）是 $D$ 中的标签，$F_{h,i}$（$i \in I_h$）和 $G_{h,j}$（$j \in J_h$）是 $S$ 中的状态集合。

若 $A$ 接受 $T$，则存在 $A$ 的一个成功运行 $R$，其特征 $[T, R]$ 属于 $\sig